Расход топлива

Расход топлива на километр пути пропорционален силе тяги, поэтому график расхода — это график силы тяги. Избыток расхода над равномерным движением по ровной дороге идёт на подъём; найдите по площади под графиком работу против силы тяжести.

\(h\approx14\) м.

Если автомобиль создаёт силу тяги \(F\) при скорости \(v\), то работа на пути \(s\) равна \(W=Fs\). Поскольку КПД постоянен, эта работа пропорциональна израсходованному объёму топлива, \(W=ksf\), где \(f=f(t)\) — расход топлива (объём на единицу пути), а \(k\) — коэффициент пропорциональности. Следовательно, \(F=kf(t)\), т. е. график расхода топлива можно рассматривать как график силы.

Коэффициент пропорциональности \(k\) находим из того, что при старте с места сопротивления воздуха нет (при нулевой скорости оно равно нулю), и вся сила тяги идёт на разгон автомобиля, \(F(0\text{ с})=ma_0\). Учитывая, что \(f(0\text{ с})=33\) л/100 км \(=ma_0/k=\dfrac{mg}{2k}\), получаем \(\dfrac{k}{mg}=1{,}52\) км/л.

При \(v_0=90\) км/ч сопротивление воздуха есть, и его нужно учесть, но так как скорость постоянна, то постоянна и сила сопротивления, и можно просто вычесть \(F(16\text{ с})\), чтобы получить силу без сопротивления воздуха. Повышенный расход топлива при подъёме под углом \(\alpha\) возникает из-за составляющей силы тяжести вдоль дороги: \(F(t)-F(16\text{ с})=mg\sin\alpha\). Самая высокая точка, где \(\sin\alpha=0\), достигается, когда расход топлива снова становится равным расходу в момент 16 с, то есть в момент 22 с. Работа силы тяги \(W=\int[F(t)-F(16\text{ с})]\,ds=\int[F(t)-F(16\text{ с})]\,v_0\,dt=\dfrac{k}{v_0}\int_{16\text{ с}}^{22\text{ с}}[f(t)-f(16\text{ с})]\,dt\) идёт на изменение потенциальной энергии \(mgh\); здесь интеграл \(I\equiv\int_{16\text{ с}}^{22\text{ с}}[f(t)-f(16\text{ с})]\,dt\approx0{,}38\) л\(\cdot\)с/км находится как площадь на графике [площадь между графиком и прямой \(f(t)=f(16\text{ с})\)]. Поэтому \(h=W/mg=\dfrac{kI}{v_0\,mg}\); при \(\dfrac{k}{mg}=1{,}52\) км/л получаем \(h\approx14\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.