Колебания

В пункте ii) примените теорему Гаусса к сфере радиуса \(r\) внутри астероида: ускорение свободного падения внутри пропорционально расстоянию до центра, как сила упругости. В пункте iii) сравните угловую частоту орбитального движения с частотой «пружинного» колебания в отверстии.

i) \(l=x=5\) см;  ii) \(g=\dfrac{GMr}{R^3}\) — сила пропорциональна смещению;  iii) времена одинаковы;  iv) \(T\approx0{,}6\) с, движение не гармоническое.

i) Жёсткость \(k\) пружины находится из равновесия сил \(mg=kx\), откуда \(k=mg/x\). Период колебаний такого пружинного маятника \(T=2\pi\sqrt{m/k}\overset{!}{=}2\pi\sqrt{l/g}\ \Longrightarrow\ l=mg/k=x\).

ii) Применим теорему Гаусса к сфере радиусом \(r\), концентричной астероиду. По симметрии напряжённость поля (ускорение свободного падения) постоянна на сфере, поэтому поток этой напряжённости равен площади сферы, умноженной на напряжённость (со знаком «минус», потому что сила направлена внутрь). С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен \(-4\pi G\), умноженному на полную массу внутри сферы. Формулами (обозначим плотность астероида через \(\varrho\)): \(-4\pi r^2g=-4\pi G\times\dfrac43\pi r^3\varrho\) и \(g=\dfrac43\pi G\varrho r=GMr/R^3\) (обозначая полную массу через \(M\), а полный радиус через \(R\)). Всякий раз, когда есть притягивающая сила, пропорциональная смещению, имеет место гармоническое движение (как у пружинного маятника).

iii) Отождествив ускорение свободного падения с центростремительным ускорением, \(GM/R^2=\omega_o^2R\ \Longrightarrow\ \omega_o^2=GM/R^3\) (где \(\omega_o\) — орбитальная угловая скорость). Время достижения друга равно \(t_o=T_o/2=\dfrac{2\pi}{\omega_o}\Big/2=\pi/\omega_o\). Через отверстие же мы имеем половину периода эффективного пружинного маятника с «жёсткостью» \(k=GMm/R^3\): а именно, \(t_h=T_h/2=\dfrac{2\pi}{\omega_h}\Big/2=\pi/\omega_h\). Из «жёсткости» и общей формулы для пружинного маятника \(\omega_h^2=k/m=GM/R^3=\omega_o^2\). Следовательно, \(t_o=t_h\) — времена одинаковы!

iv) Так как движение после отскока совпадает с обращённым во времени движением до отскока, период вдвое больше времени первого падения (\(t_b\)). При постоянном ускорении \(h=gt_b^2/2\ \Longrightarrow\ T=2t_b=2\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\). На Земле \(g\approx10\) м/с\(^2\), поэтому \(T=2\sqrt{\dfrac{2\times50\text{ см}}{10\text{ м/с}^2}}\approx0{,}6\) с.

Это не гармоническое движение, потому что смещение — квадратичная функция времени, а не синусоида. Кроме того, возвращающая сила здесь не пропорциональна смещению.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.