Пружинный маятник с начальной скоростью

Максимальная скорость груза достигается в положении равновесия. Запишите уравнение колебаний относительно положения равновесия и начальные условия.

Найдём сначала величину \(x_0\) удлинения пружины в положении равновесия: \(mg = kx_0\), где \(m\) — масса груза, \(k\) — жёсткость пружины. При вертикальных колебаниях все точки груза движутся с одним и тем же ускорением, поэтому в качестве координаты груза можно использовать координату точки \(C\), в которой пружина прикреплена к грузу. Направим ось \(x\) вертикально вниз и будем отсчитывать координату точки \(C\) от её равновесного положения. Запишем второй закон Ньютона: \[ma_x = -k(x_0 + x) + mg \;\Rightarrow\; a_x + \omega^2 x = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.\]

Зависимости от времени координаты и проекции скорости груза на ось \(x\) определяются формулами \[x(t) = A\sin(\omega t + \alpha), \qquad V_x(t) = A\omega\cos(\omega t + \alpha),\] где \(A\) — амплитуда колебаний, \(\alpha\) — начальная фаза. В начальный момент \(x(0) = -x_0\), \(V_x(0) = V_0\), поэтому \[A\sin\alpha = -\frac{g}{\omega^2}, \qquad A\omega\cos\alpha = V_0.\] Так как амплитуда положительна, \(\sin\alpha < 0\) и \(\cos\alpha > 0\), откуда \[\operatorname{tg}\alpha = -\frac{g}{\omega V_0} \;\Rightarrow\; \alpha = -\operatorname{arctg}\frac{g}{\omega V_0}.\] Скорость груза достигает максимального значения в положении равновесия: \(\cos(\omega\tau + \alpha) = 1\), откуда \(\omega\tau + \alpha = 2\pi n\). Минимальное положительное значение \(\tau\) получается при \(n = 0\): \[\tau = -\frac{\alpha}{\omega} = \frac{1}{\omega}\operatorname{arctg}\frac{g}{\omega V_0} \;\Rightarrow\; X = \frac{\tau}{T} = \frac{1}{2\pi}\operatorname{arctg}\frac{g}{\omega V_0}.\] При \(V_0 = 2g/\omega\) получаем \(X = \dfrac{1}{2\pi}\operatorname{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 0{,}074\).