Шайбы на стержне: отношение скоростей

Разложите скорости шайб на составляющие вдоль стержня и перпендикулярно ему. Общая для обеих шайб составляющая вдоль стержня и законы сохранения импульса и энергии дают остальные связи.

Разложим скорости шайб на составляющие, параллельные и перпендикулярные стержню в конечном положении: \[\vec V_1 = \vec u + \vec u_1, \qquad \vec V_2 = \vec u + \vec u_2.\]

Вектор \(\vec u\) направлен вдоль стержня. Так как длина стержня не меняется при движении, эта составляющая одинакова для обеих шайб. Векторы \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) перпендикулярны стержню. Поскольку шайбы движутся без трения, их суммарный импульс сохраняется: \[m_1\vec V_0 = m_1\vec V_1 + m_2\vec V_2 \;\Rightarrow\; \vec V_0 = 4\vec u + \vec u_1 + 3\vec u_2.\] Направим оси неподвижной системы координат вдоль начального и конечного положений стержня. В проекциях имеем: \[V_0 = 4u \;\Rightarrow\; u = \frac{V_0}{4}, \qquad 0 = -u_1 + 3u_2 \;\Rightarrow\; u_1 = 3u_2.\] Далее воспользуемся законом сохранения энергии: \[V_0^2 = 4u^2 + u_1^2 + 3u_2^2.\] Подставляя сюда полученные выше выражения для \(u\) и \(u_1\), последовательно находим все скорости: \[V_0^2 = \frac{4V_0^2}{16} + 9u_2^2 + 3u_2^2 \;\Rightarrow\; u_2 = \frac{V_0}{4}, \qquad u_1 = \frac{3V_0}{4}.\] Тогда \[V_1 = \sqrt{u^2 + u_1^2} = \frac{V_0\sqrt{10}}{4}, \qquad V_2 = \sqrt{u^2 + u_2^2} = \frac{V_0\sqrt{2}}{4}.\] Отношение скоростей равно: \[x = \frac{V_1}{V_2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24.\]