Стакан с водой

Долейте тонкий слой воды на высоте уровня: он лежит выше центра тяжести системы или ниже? Куда при этом сдвинется центр тяжести?

Центр тяжести занимает наинизшее положение, когда он совпадает с уровнем воды. Если \(M\) — масса пустого стакана, \(h\) — высота его центра тяжести над дном, \(S\) — площадь сечения, \(\rho\) — плотность воды, то уровень \(x_*=\dfrac{-M+\sqrt{M^2+2\rho S\,Mh}}{\rho S}\) (он ниже \(h\)).

Что происходит. Центр тяжести системы — взвешенное среднее центров тяжести частей. Подливаем тонкий слой воды: он добавляет массу, центр которой находится на уровне воды. Если этот уровень выше центра тяжести системы, новая масса «тянет» среднее вверх; если ниже — вниз. Значит, центр тяжести опускается, пока уровень воды выше него, и поднимается, когда уровень оказывается ниже. Наинизшее положение — когда уровень воды и центр тяжести совпали.

Обозначения. Ось \(y\) направлена вверх, начало на дне стакана; толщиной дна пренебрегаем. \(M\) — масса пустого стакана, \(h\) — высота его центра тяжести, \(S\) — площадь сечения воды, \(\rho\) — плотность воды, \(x\) — уровень воды.

1. Положение центра тяжести как функция уровня. Масса воды \(m=\rho Sx\), её центр тяжести лежит на высоте \(x/2\). Центр тяжести системы стакан + вода — взвешенное по массам среднее: \[y_C(x)=\frac{M h+\rho Sx\cdot\dfrac x2}{M+\rho Sx}.\]

2. Наинизшее положение. Найдём, при каком \(x\) функция \(y_C\) минимальна: производная равна нулю, \[y_C'=\frac{\rho Sx\,(M+\rho Sx)-\rho S\left(Mh+\dfrac{\rho Sx^2}{2}\right)}{(M+\rho Sx)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(M+\rho Sx)=Mh+\frac{\rho Sx^2}{2}.\] Левая часть равна \(x\) умножить на полную массу, правая — числителю в \(y_C\), то есть \(y_C\,(M+\rho Sx)\). Значит, условие минимума: \[y_C=x .\] Центр тяжести лежит ровно на уровне воды. До этого момента \(y_C>x\) и доливание понижает центр тяжести, после — \(y_C<x\) и доливание повышает его: действительно минимум.

3. Уровень в явном виде. Условие \(y_C=x\) есть уравнение \(Mh=Mx+\dfrac{\rho S}{2}x^2\), откуда (берём положительный корень) \[x_*=\frac{-M+\sqrt{M^2+2\rho S\,Mh}}{\rho S}.\]

На графике кривая \(y_C(x)\) начинается в точке \(h\) (пустой стакан), опускается и пересекает прямую \(y=x\) в своём минимуме; правее она растёт.

Обратите внимание: из уравнения \(Mh=Mx+\rho Sx^2/2\) видно, что \(x_*<h\): наинизшее положение достигается раньше, чем уровень воды дойдёт до исходного центра тяжести пустого стакана.

Ответ: когда уровень воды совпадает с центром тяжести системы, \(x_*=\dfrac{-M+\sqrt{M^2+2\rho SMh}}{\rho S}\).

Проверка. Размерность: \(\rho S\) — кг/м, \(M^2\) и \(\rho S\,Mh\) — кг\(^2\), корень — кг, делим на кг/м — метры. Предел очень лёгкой воды (\(\rho S\ll M/h\)): корень \(\approx M\left(1+\dfrac{\rho Sh}{M}\right)\), \(x_*\approx h\): уровень совпадает с центром тяжести самого стакана, как и должно быть, когда воды почти нет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.