Ящик с резисторами

Сколько резисторов нужно хотя бы, чтобы соединить три вывода? Какая схема из двух резисторов дала бы «самое большое» сопротивление, равное сумме двух других?

Нужно три резистора, и схем две. Звезда: \(R_1=2\) Ом, \(R_2=1\) Ом, \(R_3=4\) Ом (резистор \(R_i\) идёт от вывода \(i\) к общей точке). Треугольник: \(r_{12}=3{,}5\) Ом, \(r_{23}=7\) Ом, \(r_{13}=14\) Ом.

Что происходит. Омметр измеряет сопротивление всего, что лежит между двумя выводами. По трём таким числам нужно восстановить цепь. Сначала выясним, сколько резисторов минимум требуется, затем найдём все схемы этого размера и их номиналы.

1. Двух резисторов мало. Омметр показывает конечное сопротивление между любой парой, поэтому все три вывода соединены. Два резистора могут соединять три вывода только последовательно: общая точка и два крайних вывода (параллельное включение даёт два вывода, а не три). Тогда сопротивление между крайними выводами равно сумме двух других. У нас наибольшее число 6 Ом, а \(3+5=8\ne6\). Значит, двух резисторов мало. Если один из двух заменить параллельной парой, получится тот же случай: пара эквивалентна одному резистору.

2. Три резистора: какие схемы возможны. Цепь из трёх резисторов, связывающая три вывода, либо без замкнутого контура (дерево), либо с контуром. Дерево из трёх резисторов с выводами в трёх узлах — или цепочка (там снова «наибольшее равно сумме», не годится), или звезда с внутренней точкой. С контуром — треугольник. Других нет, поэтому остаются звезда и треугольник.

3. Звезда. Резистор \(R_i\) соединяет вывод \(i\) с общей точкой. Сопротивление между двумя выводами — сумма двух резисторов, идущих к ним: \[R_1+R_2=3,\qquad R_2+R_3=5,\qquad R_1+R_3=6\ (\text{Ом}).\] Сложим и разделим на два: \(R_1+R_2+R_3=7\) Ом. Отсюда \(R_3=7-3=4\) Ом, \(R_1=7-5=2\) Ом, \(R_2=7-6=1\) Ом.

4. Треугольник. Резистор \(r_{ij}\) соединяет выводы \(i\) и \(j\). Тот же ящик (с теми же показаниями омметра) эквивалентен звезде из пункта 3, поэтому номиналы треугольника выражаются через звезду по формулам преобразования: \(r_{12}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}\) и циклически. Сумма попарных произведений \(2\cdot1+1\cdot4+4\cdot2=14\), откуда \[r_{12}=\frac{14}{4}=3{,}5\text{ Ом},\qquad r_{23}=\frac{14}{2}=7\text{ Ом},\qquad r_{13}=\frac{14}{1}=14\text{ Ом}.\]

Проверка независимым способом. Омметр на треугольнике: между 1 и 2 резистор \(r_{12}\) включён параллельно цепочке \(r_{23}+r_{13}\): \[\frac{3{,}5\cdot(7+14)}{3{,}5+7+14}=\frac{73{,}5}{24{,}5}=3\text{ Ом};\qquad \frac{7\cdot(3{,}5+14)}{24{,}5}=5\text{ Ом};\qquad \frac{14\cdot(3{,}5+7)}{24{,}5}=6\text{ Ом},\] все три показания совпали с условием. Обратите внимание: омметр не отличает звезду от треугольника с такими номиналами, поэтому по трём показаниям ответ неоднозначен: подходят обе схемы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.