Резистор подключили параллельно

Напряжение между \(a\) и \(b\) делится между \(R_1\) и параллельным участком. Если на одном из них напряжение выросло, на другом оно упало на столько же. Свяжите это с изменением токов и с законом сохранения заряда в узле.

\(\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}=4\).

Что происходит. Напряжение \(U\) между \(a\) и \(b\) делится между резистором \(R_1\) и параллельным участком с \(R_2\). Когда добавили \(R\), общее сопротивление участка уменьшилось, ток через \(R_1\) вырос, а напряжение на параллельном участке упало. Главная идея: напряжение \(U\) постоянно, поэтому на сколько выросло напряжение на \(R_1\), на столько же упало на \(R_2\); из этого и из закона сохранения заряда в узле найдём отношение сопротивлений.

Обозначения. \(I_0\) — ток через \(R_1\) до подключения \(R\) (он же ток через \(R_2\)), \(I_0+I_2\) — ток через \(R_1\) после, \(I_1\) — ток через \(R\).

1. Напряжения. Закон Ома для \(R_1\): напряжение на нём выросло на \(\Delta U_1=I_2R_1\). Закон сохранения энергии (сумма напряжений на последовательных участках равна \(U\), и \(U\) постоянно): напряжение на параллельном участке упало на ту же величину, \(\Delta U_{2}=-I_2R_1\).

2. Ток через \(R_2\). Закон Ома для \(R_2\) (его сопротивление не менялось): ток через \(R_2\) уменьшился на \[\frac{I_2R_1}{R_2}.\] 3. Узел. Закон сохранения заряда в узле над \(R_2\) и \(R\): ток через \(R_1\) растекается на \(R_2\) и \(R\), поэтому \[I_0+I_2=\Bigl(I_0-\frac{I_2R_1}{R_2}\Bigr)+I_1 .\] Отсюда \(I_2=I_1-\dfrac{I_2R_1}{R_2}\), и \[\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_1-I_2}{I_2}=\frac{10-2}{2}=4 .\] Обратите внимание: в условии \(I_2\) — прирост тока через \(R_1\), а не ток через \(R_2\); ток через \(R_2\) при этом уменьшился на \(I_1-I_2=8\) мА.

Проверка. Отношение безразмерно. Числовой пример: \(I_0=10\) мА, \(R_2=1\) кОм, \(R_1=4\) кОм, \(U=50\) В. После подключения ток через \(R_1\) равен 12 мА, напряжение на нём 48 В, на параллельном участке остаётся 2 В, ток через \(R_2\) равен 2 мА, через \(R\) — 10 мА (при \(R=200\) Ом); в узле \(2+10=12\) мА, как и должно быть.

Ответ: \(\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}=4\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.