Волчок на краю стола

Когда вершина минует край, опоры нет: конус падает свободно, сохраняя горизонтальную скорость. Опишите движение края стола в системе отсчёта конуса и проверьте, не окажется ли он внутри конуса.

\(v\ge r\sqrt{\dfrac{g}{2H}}\).

Что происходит. Волчок опирается на стол вершиной. Когда вершина проходит край, опора пропадает: горизонтальных сил нет, поэтому горизонтальная скорость \(v\) сохраняется, а по вертикали волчок падает свободно без начальной вертикальной скорости. Ось остаётся вертикальной (по условию, из-за быстрого вращения). Угол стола при этом может задеть боковую поверхность конуса. Главная идея: перейти в систему отсчёта, связанную с конусом, и посмотреть, как в ней движется угол стола.

Обозначения. \(r\) — радиус основания, \(H\) — высота конуса. Время \(t\) считаем от момента, когда вершина прошла край. Ось \(x\) — горизонтально, от оси конуса в сторону, где остался стол; ось \(y\) — вертикально вверх; начало — вершина конуса.

1. Движение конуса. Горизонтально: сил нет, \(x_{\text{к}}=-vt\) (конус уезжает от стола). Вертикально: свободное падение, вершина опустилась на \(\dfrac{gt^2}{2}\).

2. Угол стола относительно конуса. Положение угла относительно вершины конуса (в его системе отсчёта; ось остаётся вертикальной, поворота нет): \[x=vt,\qquad y=\frac{gt^2}{2},\qquad\text{откуда}\qquad y=\frac{g\,x^2}{2v^2}.\] Угол движется по параболе, выходящей из вершины.

3. Условие «не ударится». Конус занимает точки с \(x\le \dfrac{r}{H}\,y\) при \(0\le y\le H\) (боковая поверхность — прямая \(x=ry/H\)). Удар — попадание угла внутрь конуса, то есть \(x<\dfrac{r}{H}y\) хотя бы в один момент. Для параболы отношение \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{gx}{2v^2}\) растёт с \(x\), поэтому опаснее всего конец участка, когда угол доходит до уровня основания, \(y=H\) (дальше угол выше основания, и конус целиком ниже стола). Отсюда условие: при \(y=H\) должно быть \(x\ge r\).

4. Расчёт. Время падения на высоту \(H\): \(H=\dfrac{gt_H^2}{2}\), \(t_H=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\). За это время угол смещается по \(x\) на \(vt_H\): \[vt_H\ge r\quad\Longrightarrow\quad v\ge r\sqrt{\frac{g}{2H}}.\]

Обратите внимание: проверять только момент \(y=H\) можно потому, что отношение \(y/x\) вдоль траектории угла растёт. Если \(v<v_*\), угол выходит на боковую поверхность раньше, чем доходит до уровня основания (красная кривая на рисунке), и удар приходится на боковую поверхность, а не на край основания.

Проверка. Размерность: \(\text{м}\cdot\sqrt{\dfrac{\text{м/с}^2}{\text{м}}}=\text{м/с}\). Пределы: при \(H\to0\) (плоский диск) \(v_*\to\infty\) — диск, упав на малую высоту за малое время, должен за это время отъехать на \(r\); при \(r\to0\) (тонкая игла) \(v_*\to0\), любая скорость подходит.

Ответ: \(v\ge r\sqrt{\dfrac{g}{2H}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.