Чайник и капающий кран

Пока температура постоянна, теплота, которую за минуту приносят капли, равна теплоте, которую за минуту теряет чайник. Вылитая вода уносит свою теплоту, поэтому капля «работает» только на разность \(t_2-t\).

1) \(n=\dfrac{\rho V}{\tau\,m_{\text{к}}}\cdot\dfrac{1\,{}^\circ\text{C}}{t_2-t}=20\) капель в минуту;  2) примерно на \(0{,}4\,{}^\circ\text{C}\) (точнее \(0{,}39\,{}^\circ\text{C}\)).

Что происходит. Чайник теряет теплоту в воздух, а капли горячей воды её восполняют. Капля попадает в воду, перемешивается, и столько же воды вытекает через носик при температуре \(t\). Поэтому энергия воды в чайнике растёт за счёт каждой капли на \(m_{\text{к}}c\,(t_2-t)\). Главная идея: записать баланс энергии воды в чайнике за малое время и найти по нему число капель.

Обозначения. \(M=\rho V=0{,}3\) кг — масса воды в чайнике (\(\rho=1000\) кг/м\(^3\)), \(c=4200\) Дж/(кг\(\cdot\)К) — удельная теплоёмкость воды, \(t\) — температура воды в чайнике, \(P\) — мощность потерь теплоты, \(\mu\) — масса воды, приносимая каплями за единицу времени.

Пункт 1. Мощность потерь при \(t=30\,{}^\circ\text{C}\). Без подогрева вода массой \(M\) остывает на \(1\,{}^\circ\text{C}\) за время \(\tau\), при этом она отдаёт теплоту \(Mc\cdot1\,{}^\circ\text{C}\). Поэтому мощность потерь при \(t=30\,{}^\circ\text{C}\) равна \[P_0=\frac{Mc\cdot 1\,{}^\circ\text{C}}{\tau}=\frac{0{,}3\cdot4200\cdot1}{300}\text{ Вт}=4{,}2\text{ Вт}.\] Остывание за 5 минут мало (1 градус), поэтому мощность потерь за это время считаем постоянной.

Баланс при постоянной температуре. Температура воды не меняется, значит, её энергия постоянна. Это закон сохранения энергии для воды в чайнике: теплота, приносимая каплями за единицу времени, равна потерям, \[\mu_0c\,(t_2-t)=P_0,\qquad \mu_0=\frac{P_0}{c\,(t_2-t)}=\frac{4{,}2}{4200\cdot15}\text{ кг/с}.\] Число капель в минуту \(n_0=\dfrac{60\,\mu_0}{m_{\text{к}}}=\dfrac{60\cdot4{,}2}{4200\cdot15\cdot0{,}0002}=20\).

Пункт 2. Втрое чаще. Теперь \(\mu=3\mu_0\), температура начинает расти. Запишем закон сохранения энергии для воды в чайнике за малое время \(d\tau\) (изменение температуры \(dt\) за это время мало): \[Mc\,dt=\mu\,d\tau\,c\,(t_2-t)-P\,d\tau .\] В начальный момент \(t=30\,{}^\circ\text{C}\), потери по-прежнему \(P_0\), а приход теплоты втрое больше прежнего, то есть \(3P_0\). Отсюда \[\frac{dt}{d\tau}=\frac{3P_0-P_0}{Mc}=\frac{2\cdot4{,}2}{0{,}3\cdot4200}\ \frac{{}^\circ\text{C}}{\text{с}}=\frac{1}{150}\ \frac{{}^\circ\text{C}}{\text{с}}=0{,}4\ \frac{{}^\circ\text{C}}{\text{мин}}.\] Обратите внимание: за минуту температура вырастет не точно на \(0{,}4\,{}^\circ\text{C}\), потому что по мере нагрева приход теплоты падает (разность \(t_2-t\) уменьшается), а потери растут. Учтём это: потери \(P=k(t-t_0)\), где \(k=P_0/(30-20)=0{,}42\) Вт/К, а приход теплоты \(3P_0\dfrac{t_2-t}{t_2-30}=0{,}84\,(t_2-t)\) Вт. Уравнение \(Mc\,\dfrac{dt}{d\tau}=0{,}84\,(45-t)-0{,}42\,(t-20)\) даёт \(t(\tau)=t_\infty-(t_\infty-30)\,e^{-\tau/\theta}\) с \(t_\infty=36{,}7\,{}^\circ\text{C}\) и \(\theta=\dfrac{Mc}{0{,}84+0{,}42}=1000\) с. За минуту: \(6{,}7\cdot(1-e^{-0{,}06})\approx0{,}39\,{}^\circ\text{C}\) — мало отличается от \(0{,}4\,{}^\circ\text{C}\).

Ответ: \(n=\dfrac{\rho V}{\tau\,m_{\text{к}}}\cdot\dfrac{1\,{}^\circ\text{C}}{t_2-t}=20\) капель в минуту; при утроенной частоте вода нагревается примерно на \(0{,}4\,{}^\circ\text{C}\) за минуту (точнее \(0{,}39\,{}^\circ\text{C}\)).

Проверка. Размерность первого ответа: \(\dfrac{\text{кг}}{\text{с}\cdot\text{кг}}\), то есть капли в секунду, 20 в минуту. Предел: если бы воздух не охлаждал чайник (\(\tau\to\infty\)), капать не нужно, \(n\to0\). Второй способ для пункта 2: приход теплоты \(3P_0\), потери \(P_0\), избыток \(2P_0\). Мощность \(P_0\) соответствует изменению температуры на \(1\,{}^\circ\text{C}\) за 5 минут, значит, мощность \(2P_0\) — на \(2\,{}^\circ\text{C}\) за 5 минут, то есть \(0{,}4\,{}^\circ\text{C}\) в минуту.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.