Клин и ударная волна

Силу давления на плоскую грань можно записать как давление на проекцию грани на плоскость, перпендикулярную оси \(X\). Давление \(p_0\), одинаковое по всей поверхности клина, даёт нулевую равнодействующую: считайте только добавку к нему.

\(u=\dfrac{p_0\,abc}{2mv}\), направление — по оси \(X\).

Что происходит. Фронт волны проходит над клином за время \(b/v\), много меньшее времени, за которое клин заметно сдвинется (\(u\ll v\)). Поэтому клин всё это время стоит на месте, на него действуют силы давления на грани, а скорость он получает по теореме об изменении импульса: \(mu=\int F_x\,dt\), где \(F_x\) — проекция силы давления на ось \(X\). Трения нет, вертикальные силы (давление на наклонную грань, сила тяжести, реакция стола) к горизонтальному движению отношения не имеют.

Обозначения. Давление впереди фронта \(p_0\), за фронтом \(2p_0\). Ось \(X\) направлена по ходу волны, \(x_{\text{ф}}=vt\) — координата фронта (от нижнего левого ребра клина, в момент \(t=0\)). Вертикальная грань клина — справа, её высота \(a\), длина основания \(b\), глубина \(c\).

1. Что даёт избыточное давление. Давление \(p_0\), действующее на всю поверхность клина, даёт нулевую равнодействующую (давление в покоящейся среде не двигает тело). Значит, на клин действует только избыточное давление \(\Delta p=2p_0-p_0=p_0\) на тех гранях (их частях), что уже лежат за фронтом.

2. Сила на плоскую грань. Сила давления на плоскую грань площадью \(S\) направлена по нормали внутрь тела, её проекция на ось \(X\) равна \(\Delta p\cdot S_{\perp}\), где \(S_\perp\) — проекция грани на плоскость, перпендикулярную оси \(X\) (знак: наклонная грань смотрит навстречу волне и толкает клин вперёд, вертикальная — по ходу волны и толкает назад). Проекция всей наклонной грани — прямоугольник \(a\times c\), проекция вертикальной — тоже \(a\times c\).

3. Сила как функция времени. Пока фронт идёт над наклонной гранью (\(0<t<b/v\)), за ним лежит её часть длиной по основанию \(vt\), а проекция этой части — \(ac\cdot\dfrac{vt}{b}\): \[F_x=p_0\,ac\,\frac{vt}{b}.\] При \(t=b/v\) фронт доходит до вертикальной грани, и на неё сразу начинает действовать сила \(p_0ac\) назад, а сила на наклонную грань достигла \(p_0ac\) вперёд. Дальше обе постоянны и компенсируют друг друга: \(F_x=0\).

4. Импульс силы. \(\int F_x\,dt\) — площадь под графиком \(F_x(t)\), прямоугольный треугольник с катетами \(p_0ac\) и \(b/v\): \[mu=\frac12\,p_0ac\cdot\frac bv .\]

Обратите внимание: избыточное давление равно \(p_0\), а не \(2p_0\): на клин действует разность давлений за фронтом и перед ним, а не само давление за фронтом.

Ответ: \[u=\frac{p_0\,abc}{2mv},\] скорость направлена по оси \(X\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Па}\cdot\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{м/с}}=\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{кг}\cdot\text{м/с}}=\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\). Второй способ: для прямоугольного бруска \(a\times b\times c\) сила \(p_0ac\) действовала бы время \(b/v\), импульс \(p_0acb/v=p_0V/v\); клин вдвое меньше по объёму (\(V=abc/2\)), а для любого тела импульс равен \(p_0V/v\) — получаем тот же результат. Если бы волна шла с другой стороны (вертикальная грань первой), график силы был бы зеркальным, а площадь под ним — той же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.