Гидравлический удар в трубе

За время \(\Delta t\) останавливается столб воды длиной \(c\Delta t\); приравняйте импульс силы давления изменению импульса этого столба. Давление уравновешивается силами упругости стенок.

Избыточное давление \(P=\rho cv\approx1{,}5\cdot10^6\text{ Па}\); толщина стенок \(h=\dfrac{n\rho cvr}{\sigma_{\text{н.р.}}}\approx1{,}1\text{ мм}\).

11-5. Гидродинамический удар в трубах возникает при резкой остановке течения воды, в следствие возникновения сил препятствующих этому движению. После перекрывания трубы в жидкости возникает волна

сжатия которая движется со скоростью звука в воде \(c\). Следовательно за малый промежуток времени \(\Delta t\) останавливается столб воды длиной \(l = c \Delta t\). Сила \(F\), которая приводит к остановке, с одной стороны равна \(PS\), (где \(P\) - избыточное давление в трубе, \(S\) - площадь поперечного сечения трубы), а с другой определяется вторым законом Ньютона \(F \Delta t = m \Delta V\). Приравнивая эти выражения, получим

\[c \Delta t S \rho V = PS \Delta t.\]

Откуда находим избыточное давление

\[P = \rho c V.\]

Интересно отметить, что в данном случае численное значение \(P \approx 1{,}5 \cdot 10^6\) Па \(\approx 15\) атм.

Найдем теперь толщину стенок трубы, которые могут выдержать пятикратное превышение этого давления. Выделим на стенке трубы небольшой участок длиной \(l\) и видимый из центра под малым углом \(\Delta\alpha\). Сила давления \(P\Delta S = Pr\Delta\alpha l\) должна быть уравновешена силами упругости, возникающими в стенках трубы \(T\), модуль суммы которых равен

\[T\Delta\alpha = \sigma hl\Delta\alpha,\]

где \(\sigma\) - механическое напряжение в стенках трубы, которое не превышает \(\sigma_{\text{н.р.}}\). Учитывая, что давление должно в \(n = 5\) раз превышать давление гидродинамического удара, получим из условия равновесия

\[ncV\rho r\Delta\alpha l = \sigma_{\text{н.р.}}lh\Delta\alpha.\]

Из этой формулы следует

\[h = \frac{nc\rho Vr}{\sigma_{\text{н.р.}}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{-3} \text{ м}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.