Дождь на лобовом стекле

Стекло «собирает» капли из параллелепипеда длиной \(Vt\) и сообщает им скорость \(V\). Массу капель в единице объёма найдите из того, сколько воды набирается в подставленном сосуде.

\(P=\dfrac{\rho h}{u}V^2\).

9-4. Капли, падающие на лобовое стекло автомобиля, имеют нулевую горизонтальную составляющую скорости, а затем приобретают скорость \(V\), равную скорости автомобиля. Следовательно, автомобиль сообщает каплям некоторый импульс, т.е. действует на них с некоторой силой, равной (по третьему закону Ньютона) силе, с которой капли действуют на автомобиль. Пусть масса воды, капавшей на лобовое стекло за время \(t\), равна \(m\); тогда импульс, сообщенный ей равен \(p = mV\), а средняя сила, действующая на стекло,

\[F = \frac{p}{t} = \frac{mV}{t},\tag{1}\]

тогда давление водяных капель

\[P = \frac{mV}{tS},\tag{2}\]

где \(S\) — площадь стекла. Для вычисления \(m\), заметим, что за время \(t\) стекло “соберет” все капли, которые находятся в объеме параллелепипеда с основанием \(S\) и длиной \(Vt\), т.е.

\[m = \lambda SVt,\tag{3}\]

где \(\lambda\) — масса всех капель дождя, находящихся в единице объема.

Для определения \(\lambda\) можно рассуждать следующим образом: пусть за время \(\tau\) в цилиндрическом вертикальном сосуде с площадью основания \(S_0\) уровень воды поднялся на \(h\tau\), тогда ее масса \(m_0 = \rho h \tau S_0\), где \(\rho\) — плотность воды, очевидно, что эта же масса может быть выражена через \(\lambda\) по формуле аналогичной (3)

\[m_0 = \lambda S_0 u \tau,\]

Приравнивая

\[\rho h \tau S_0 = \lambda S_0 \tau u,\]

найдем

\[\lambda = \frac{\rho h}{u}\tag{4}\]

(отметим, что \(h\) — должно измеряться в той же системе единиц, что и остальные параметры задачи). Подставляя (4) в (3), а затем в (2), получим ответ

\[P = \frac{\rho h}{u} V^2.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.