Мяч с импульсом при ударе

Запишите закон сохранения механической энергии до удара и после него, учитывая, что скорость после удара составляет 0,75 от скорости до удара.

1. По закону сохранения энергии \(\dfrac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \dfrac{mv_1^2}{2}\), где \(v_1\) — скорость мяча в момент удара о землю, \(h_0 = 3{,}55\) м. Отсюда \(v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}\) (1).

2. По условию модуль импульса уменьшается на 25%, т.е. \(p_2 = 0{,}75\,p_1\), значит, \(v_2 = 0{,}75\,v_1 = \dfrac{3}{4}\sqrt{v_0^2 + 2gh_0}\) (2), где \(v_2\) — скорость, с которой мяч отскочил от земли.

3. При движении вверх его полная механическая энергия сохраняется, т.е. \(\dfrac{mv_2^2}{2} = mgH\), \(v_2^2 = 2gH\), где \(H = 2{,}7\) м. Учитывая формулу (2), получаем \(\dfrac{9}{16}(v_0^2 + 2gh_0) = 2gH\), откуда \(v_0^2 = \dfrac{32}{9}gH - 2gh_0\). При \(g = 10\) м/с\(^2\): \(v_0 = \sqrt{20\cdot\left(\dfrac{16}{9}\cdot 2{,}7 - 3{,}55\right)} = 5\) м/с.

Ответ: \(v_0 = 5\) м/с.