Брусок на колеблющейся ленте

Максимальное ускорение ленты намного больше \(\mu g\), поэтому брусок всё время проскальзывает и движется с ускорением \(\pm\mu g\) — его закон движения не зависит от деталей движения ленты.

\(V_m=\mu g\tau\approx1{,}0\text{ м/с}\); амплитуда \(X_m=\mu g\tau^2\approx0{,}98\text{ м}\).

11-4. Попытаться рассчитать переходный режим (установление колебаний) вручную за короткое время, по-видимому, задача трудновыполнимая. Поэтому, обсудим возможный режим установившихся колебаний. Единственная сила, действующая на брусок в горизонтальном направлении (и заставляющая его двигаться) - сила трения со стороны колеблющейся ленты. Направление этой силы зависит от направления относительной скорости движения бруска, поэтому оно будет постоянно изменяться. Ускорение ленты, а, следовательно, и ее скорость меняются в достаточно больших пределах. Не составляет труда подсчитать максимальную скорость ленты - порядка \(10\) м/с. На нижнем рисунке схематически изображен график зависимости скорости ленты от времени - это набор отрезков парабол - кривая \(1\) (как будет видно ниже, нам не понадобится точный вид этой зависимости). Коэффициент трения между бруском и лентой транспортера невелик \(\mu = 0{,}10\), поэтому ускорение бруска в \(10\) раз меньше максимального ускорения призмы. Следовательно, в установившемся режиме скорость бруска также будет изменяться в

небольших пределах, а остановки бруска относительно ленты будут происходить в те моменты времени, когда ее скорость мала, а ускорение велико. В эти моменты времени сила трения покоя не сможет удержать брусок на ленте, он будет постоянно проскальзывать относительно нее. Следовательно, брусок будет двигаться с постоянным по модулю ускорением равным \(\mu g\), а его скорость изменяться по линейному закону. В установившемся режиме период колебаний бруска совпадает с периодом колебаний ленты (конечно, это не гармонические колебания). Схематически зависимость скорости бруска от времени показана на рисунке (ломаная \(2\)). Найдем

максимальное значение скорости бруска \(V_m\). За промежуток времени \(2\tau\) его скорость изменяется от \(-V_m\) до \(+V_m\), при этом он движется равноускоренно, поэтому

\[V_m = -V_m + \mu g \cdot 2\tau.\]

Откуда следует \(V_m = \mu g \tau \approx 1{,}0\) м/с, что в десять раз больше максимальной скорости ленты, поэтому предположение о том, что в моменты времени, когда скорости бруска и ленты равны, ускорение ленты превышает по модулю \(\mu g\) полностью оправдано. Максимальное смещение бруска при таком движении, амплитуда его колебаний, определяется формулой

\[X_m = V_m \tau = \mu g \tau^2 \approx 0{,}98 \text{ м}\]

Заметим, что закон движения бруска не зависит от закона движения ленты, если только последняя движется по периодическому закону с достаточно большой амплитудой. В частности, наше решение остается справедливым, если ускорение ленты изменяется в тех же пределах, но по гармоническому закону. Так же отметим, что утверждение о равенстве периодов вынужденных колебаний и вынуждающей силы справедливо для любых типов колебаний.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.