Трение растёт с расстоянием

Запишем уравнение движения тела по наклонной плоскости. Пусть его мгновенная координата равна \(x\) (смещение от вершины наклонной плоскости), тогда \[ma = mg\sin\alpha - mg\cos\alpha\cdot bx,\] где \(m\) — масса тела, \(a\) — его ускорение. Полученное уравнение движения по своему виду напоминает уравнение колебаний тела, подвешенного на пружине жесткости \(k = mg\cos\alpha\cdot b\), в поле «силы тяжести» \(mg\sin\alpha\). Аналогия с колебательным движением и помогает решить задачу.

Найдем положение тела \(x_0\), для которого сумма действующих на тело сил равна нулю — это будет «положением равновесия» при колебательном движении тела. Очевидно, \(mg\sin\alpha - mg\cos\alpha\cdot bx_0 = 0\); отсюда находим \(x_0 = (1/b)\operatorname{tg}\alpha\). В этот момент тело будет иметь скорость \(v_0\), которую получим из закона изменения механической энергии тела: \[\dfrac{mv_0^2}{2} = mg\sin\alpha\cdot x_0 - \dfrac{kx_0^2}{2} = mg\sin\alpha\cdot x_0 - \dfrac{mgb\cos\alpha}{2}x_0^2,\] \[v_0^2 = 2gx_0\sin\alpha - gbx_0^2\cos\alpha = \dfrac{g}{b}\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}.\] При последующем движении тело сместится еще на величину \(x_0\) — «амплитудное» значение колебаний, что легко получить из «закона сохранения механической энергии». Частоту соответствующего колебательного движения найдем из соотношения \(k/m = gb\cos\alpha = \omega_0^2\).

Таким образом, тело, пройдя после «положения равновесия» еще расстояние \(x_0 = (1/b)\operatorname{tg}\alpha\), остановится. В этот момент возвращающая сила «пропадет», так как она есть не что иное, как сила трения скольжения. Как только тело остановится, сила трения скольжения изменит направление и превратится в силу трения покоя, равную \(mg\sin\alpha\). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью в месте остановки тела равен \(\mu_{\text{ост}} = b\cdot 2x_0 = 2\operatorname{tg}\alpha\), т. е. его заведомо хватит, чтобы тело оставалось в покое и дальше.

С точки зрения колебательного подхода к описанию данного движения полное время движения тела займет половину «периода колебаний». Таким образом, \[t = T/2 = 2\pi/(2\omega_0) = \pi/\sqrt{gb\cos\alpha}.\]