Стрельба из-под укрытия

Из всех возможных траекторий снаряда выберем ту, которая касается укрытия. Рассмотрим движение снаряда в системе координат, оси которой направлены так, как показано на рисунке. В этой системе «горизонтальная» (вдоль оси \(Ax\)) составляющая начальной скорости снаряда равна \(v_{0x} = v_0\cos(\varphi - \alpha)\), а «вертикальная» (вдоль оси \(Ay\)) составляющая равна \(v_{0y} = v_0\sin(\varphi - \alpha)\), где \(\varphi\) — угол, который составляет с горизонтом направление начальной скорости снаряда.

Точка \(C\), в которой траектория снаряда касается укрытия, определяет максимальную высоту \(h'\) поднятия снаряда над «горизонтом», равную, как видно из рисунка, \(l\sin\alpha\). В этой точке составляющая полной скорости \(v\) снаряда на ось \(Ay\) равна нулю и \[h' = v_{0y}^2/(2g'),\] где \(g' = g\cos\alpha\) — «ускорение свободного падения» в системе координат \(xAy\). Таким образом, \[v_0^2\sin^2(\varphi - \alpha) = 2gl\cos\alpha\sin\alpha.\] Отсюда, в частности, вытекает, что если по условию задачи \[v_0^2 < 2gl\cos\alpha\sin\alpha = gl\sin 2\alpha,\] то ни одна из траекторий снаряда не коснется укрытия и максимальная дальность полета \(L_{\max}\) будет у снаряда, пущенного под углом \(\varphi = \pi/4\) к горизонту; при этом \(L_{\max} = v_0^2/g\).

Если по условию задачи выполняется соотношение \[v_0^2 \geqslant gl\sin 2\alpha,\] то для того, чтобы траектория касалась укрытия, снаряд должен быть пущен под углом \[\varphi = \varphi_{\text{кас}} = \alpha + \arcsin\sqrt{gl\sin 2\alpha}/v_0.\] Если при этом по условию задачи выполняется неравенство \[v_0^2/(v_0^2 + 2gl) \leqslant \sin 2\alpha,\] что в свою очередь означает выполнение условия \(\varphi_{\text{кас}} \geqslant \pi/4\) (покажите!), то угол вылета снаряда с максимальной дальностью полета равен \(\varphi = \pi/4\) и \(L_{\max} = v_0^2/g\). Если же по условию задачи выполняется обратное неравенство \[v_0^2/(v_0^2 + 2gl) > \sin 2\alpha,\] что в свою очередь означает выполнение условия \(\varphi_{\text{кас}} < \pi/4\), то \[\varphi = \varphi_{\text{кас}} = \alpha + \arcsin\dfrac{\sqrt{gl\sin 2\alpha}}{v_0},\] \[L_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\varphi = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\left(\alpha + \arcsin\dfrac{\sqrt{gl\sin 2\alpha}}{v_0}\right).\]