Скорость под действием постоянной силы

Выберем систему координат, как указано на рисунке. Пусть вектор \(\overrightarrow{OA}\) является вектором начальной скорости \(\vec v\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AB}\) есть изменение скорости за время \(\Delta t\).

Поскольку сила, действующая на тело, постоянна, то вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный вектору \(\overrightarrow{AB}\), есть изменение скорости за следующий интервал времени \(\Delta t\). Поэтому спустя интервал времени \(3\Delta t\) после начала действия силы направление скорости тела изобразится вектором \(\overrightarrow{OD}\), причем \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}\). Пусть проекции вектора \(\overrightarrow{AB}\) на оси \(x\) и \(y\) равны \(\Delta v_x\) и \(\Delta v_y\), тогда получим два уравнения: \[(v + \Delta v_x)^2 + \Delta v_y^2 = v^2/4,\] \[(v + 2\Delta v_x)^2 + (2\Delta v_y)^2 = v^2/16.\] Учитывая, что конечная скорость удовлетворяет соотношению \[v_\text{к}^2 = (v + 3\Delta v_x)^2 + (3\Delta v_y)^2,\] получим с использованием предыдущих уравнений, что \[v_\text{к} = (\sqrt7/4)\,v.\]