Малый диск на вращающемся диске

Рассмотрим, как будет двигаться малый диск сразу после соприкосновения с большим.

Выберем два одинаковых небольших участка малого диска, расположенных на одном диаметре симметрично относительно центра этого диска \(O'\). На рис. 156 точки \(A_1\) и \(A_2\) — центры масс таких участков.

В момент касания дисков (когда малый диск еще покоится) скорости \(v_1\) и \(v_2\) тех точек большого диска, которые соприкасаются с точками \(A_1\) и \(A_2\) малого диска, направлены так, как показано на рис. 156 (\(v_1 = \Omega\cdot OA_1\), \(v_2 = \Omega\cdot OA_2\)). Понятно, что вдоль скоростей \(v_1\) и \(v_2\) будут направлены в момент касания силы трения \(F_{\text{тр}1}\) и \(F_{\text{тр}2}\), действующие со стороны большого диска на центры масс выбранных участков \(A_1\) и \(A_2\) малого диска (\(F_{\text{тр}1} = F_{\text{тр}2}\)). Поскольку плечо \(l_1\) силы \(F_{\text{тр}1}\) относительно оси малого диска меньше плеча \(l_2\) силы \(F_{\text{тр}2}\) (рис. 156), суммарный момент пары сил \(F_{\text{тр}1}\) и \(F_{\text{тр}2}\) будет закручивать малый диск в направлении вращения большого диска.

Рассмотрев аналогичные пары участков малого диска, приходим к выводу, что сразу после касания малый диск начнет закручиваться в направлении вращения большого диска.

Пусть в некоторый момент времени угловая скорость малого диска стала равной \(\omega\). Скорости участков с центрами масс в точках \(A_1\) и \(A_2\) будут равны \(v_1' = v_2' = \omega r\), где \(r = O'A_1 = O'A_2\) (рис. 157). Силы трения \(F_{\text{тр}1}'\) и \(F_{\text{тр}2}'\), действующие на эти участки, будут направлены вдоль векторов \(\vec v_1 - \vec v_1'\) (относительная скорость точки большого диска, касающейся точки \(A_1\)) и \(\vec v_2 - \vec v_2'\) (относительная скорость точки большого диска, касающейся точки \(A_2\)). Понятно, что момент пары сил \(F_{\text{тр}1}'\) и \(F_{\text{тр}2}'\) будет раскручивать малый диск (т. е. угловая скорость диска будет меняться), если \(v_1' = v_2' < B_1B_2/2 = \Omega r\) (см. рис. 157; для удобства сравнения векторы, «относящиеся» к точке \(A_2\), перенесены в точку \(A_1\)).

Таким образом, пока \(\omega < \Omega\), имеется отличный от нуля момент сил трения, раскручивающих малый диск. При \(\omega = \Omega\) относительные скорости участков с центрами масс в точках \(A_1\) и \(A_2\) направлены перпендикулярно отрезку \(OO'\) (вдоль отрезка \(A_1C\) на рис. 157) и момент сил трения относительно оси малого диска равен нулю. Следовательно, и в дальнейшем малый диск будет вращаться с установившейся угловой скоростью \(\Omega\).

При \(\omega = \Omega\) все силы трения, действующие на аналогичные пары участков малого диска, будут равны по модулю и направлены одинаково — перпендикулярно отрезку \(OO'\). Согласно третьему закону Ньютона, результирующая всех сил трения, действующих на большой диск, будет приложена к точке большого диска, касающейся центра \(O'\) малого диска, и равна \(\mu mg\). Чтобы компенсировать тормозящий момент этой силы, к оси большого диска надо приложить момент сил, равный \[\mathcal{M} = \mu mgd.\]