Прыгучий мяч

Энергия сохраняется, а момент импульса относительно точки контакта сохраняется, так как все силы направлены через эту точку.

i) \(\omega_2=-\omega\);  ii) \(\omega=\dfrac{5v\cos\alpha}{2R}\);  iii) \(\mu\ge\operatorname{ctg}\alpha\).

i) Энергия сохраняется: \(\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{I\omega^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{I\omega_2^2}{2}\ \Longrightarrow\ |\omega_2|=|\omega|\). Так как шар получает от стены некоторый момент импульса (результирующая сила со стороны стены не направлена через центр шара), угловая скорость меняет знак — вращение меняет направление, и \(\omega_2=-\omega\).

ii) Момент импульса сохраняется относительно точки контакта, потому что все силы направлены через эту точку. Пусть \(a=R\cos\alpha\) — расстояние от траектории центра масс до точки контакта. Тогда указанный закон сохранения момента импульса записывается как \(I\omega-mav=I\omega_2+mav\). Так как \(\omega_2=-\omega\), получаем \(\omega=\dfrac{mav}{I}=\dfrac{5v\cos\alpha}{2R}\).

iii) На грани проскальзывания по поверхности угол между нормалью к поверхности и равнодействующей силы реакции и силы трения равен \(\operatorname{arctg}\mu\). Здесь этот угол равен \(\dfrac\pi2-\alpha\), откуда \(\mu\ge\operatorname{ctg}\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.