Соленоиды

В области перекрытия поле вдвое больше, чем в остальной части катушек, поэтому энергия считается через плотность энергии поля; ЭДС даёт скорость изменения потока, а силу находят из баланса работы, энергии поля и источника.

i) \(E_m=\dfrac{\mu_0I^2N^2}{2l^2}\left[A_1l+A_2(3l-2x)\right]\);  ii) \(\mathcal E_1=\mathcal E_2=\dfrac{\mu_0A_2IN^2v}{l^2}\), одного направления;  iii) \(F=\dfrac{\mu_0I^2N^2A_2}{l^2}\).

i) В области перекрытия магнитное поле равно \(2B\), в остальной части внутренностей катушек — \(B\). Пусть внутренняя катушка имеет площадь \(A_2\). Плотность энергии там, где магнитное поле равно \(B\), равна \(\dfrac{B^2}{2\mu_0}\). Поэтому \[E_m=\frac{B^2}{2\mu_0}\bigl(A_1l-A_2(l-x)+A_2x\bigr)+\frac{(2B)^2}{2\mu_0}A_2(l-x)=\frac{B^2}{2\mu_0}\bigl[A_1l+A_2(3l-2x)\bigr]=\frac{\mu_0I^2N^2}{2l^2}\bigl[A_1l+A_2(3l-2x)\bigr].\]

ii) Внешняя катушка пронизывается всем магнитным потоком внутренней катушки \(BA_2\). Через время \(\mathrm dt\) этот поток охватывается меньшим числом витков внешней катушки — на \(Nv\,\mathrm dt/l\) витков, расположенных на длине \(v\,\mathrm dt\). Таким образом, поток, охватываемый внешней катушкой, изменяется со скоростью \(\mathcal E_1=\dot\Phi_1=BA_2Nv/l=\mu_0A_2IN^2v/l^2\). Внутренняя катушка тоже пронизывается потоком \(BA_2\), поэтому \(\mathcal E_2=\mathcal E_1\); эти ЭДС направлены одинаково.

iii) Работа, совершаемая при вытягивании катушки, уравновешивается в двух местах: уменьшается энергия магнитного поля, а наш источник постоянного тока рассеивает некоторую энергию (потому что наши ЭДС работают против него). В сумме приложенная механическая мощность \(Fv=\dfrac{\mathrm dE_m}{\mathrm dx}v+I(\mathcal E_1+\mathcal E_2)\), откуда \(F=-\dfrac{B^2A_2}{\mu_0}+\dfrac{2IBA_2N}{l}=\dfrac{\mu_0I^2N^2A_2}{l^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.