Задачи › Законы Кеплера, орбиты

Звёздные войны

  1. Звёздные войны

    NBPhO 2014/15, заключительный этап, 11 кл. · №25793
    7/10PDF: условиес решением

    (8 баллов) Здесь мы изучим, в какой области пространства можно поразить цели межпланетной баллистической ракетой. Точка запуска \(P\) неподвижна в инерциальной системе отсчёта гравитационно притягивающей звезды с центром в \(S\). Скорость запуска ракеты на протяжении всей задачи фиксирована и равна \(v_0\), то же относится к расстоянию до точки запуска \(|SP|=R\). Масса звезды \(M\), гравитационная постоянная \(G\). Подсказка: полная энергия ракеты массой \(m\), движущейся по эллиптической орбите, равна \(E=-GMm/(2a)\), где \(a\) — большая полуось её орбиты.

    i) (2 балла) Ракета запущена, как описано выше, в произвольном направлении. Чему равен период ракеты на её эллиптической орбите?

    ii) (2 балла) Согласно первому закону Кеплера, орбита ракеты — эллипс, в одном из фокусов которого находится \(S\). Положение другого фокуса \(F\) зависит от угла запуска. При изменении угла запуска фокус \(F\) движется по некоторой кривой; что это за кривая? Определите также геометрические размеры этой кривой.

    iii) (1 балл) Рассмотрим такую точку \(Q\) на траектории ракеты, расстояние от которой до звезды равно \(|SQ|=r\). Определите расстояние \(|QF|\).

    iv) (1 балл) Положение точки \(Q\) (как она определена выше) зависит от угла запуска ракеты, а вместе с ним и расстояние \(|PQ|\). Каково наибольшее возможное расстояние \(|PQ|\) среди всех возможных положений точки \(Q\)?

    v) (2 балла) В вопросах iii и iv мы считали, что расстояние \(r\) имеет фиксированное значение. Теперь, если считать \(r\) свободным параметром, положение точки \(Q\) является функцией и \(r\), и угла запуска. Какова граница той области пространства, которой может принадлежать точка \(Q\)?

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    У эллипса сумма расстояний от любой точки до двух фокусов постоянна и равна \(2a\), а большая полуось определяется энергией и не зависит от угла запуска. Для наибольшего \(|PQ|\) используйте неравенство треугольника для точек \(P\), \(Q\), \(F\).

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    i) \(T=\dfrac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}\), где \(a=\dfrac{1}{\frac2R-\frac{v_0^2}{GM}}\);  ii) окружность радиуса \(2a-R\) с центром в \(P\);  iii) \(|QF|=2a-r\);  iv) \(|PQ|_{\max}=4a-R-r\);  v) эллипс с фокусами \(S\) и \(P\) и большой полуосью \(2a-R/2\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    i) Период кеплеровской орбиты с большой полуосью \(a\) выражается соотношением \(T^2=\dfrac{4\pi^2a^3}{GM}\). Однако, если бы мы не знали формулы, надо было бы вспомнить третий закон Кеплера \(T^2\sim a^3\) и просто выразить период для круговой орбиты с \(a=r\). Тогда \(T^2=\dfrac{4\pi^2r^2}{v^2}\), где \(v\) нужно подставить из \(\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GM}{r^2}\).

    Для нахождения периода большую полуось можно получить из выражения для полной энергии орбиты \(-\dfrac{GMm}{2a}=\dfrac{mv_0^2}{2}-\dfrac{GMm}{R}\), что равносильно \(a=\dfrac{GM}{2\frac{GM}{R}-v_0^2}=\dfrac{1}{\frac2R-\frac{v_0^2}{GM}}\). Окончательно \(T=\dfrac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}\).

    ii) По свойству эллипса расстояния \(l_1\) и \(l_2\) от любой точки эллипса до двух его фокусов в сумме дают постоянную величину \(l_1+l_2=2a\). Так как \(l_1=R\), другой фокус должен находиться на расстоянии \(l_2=2a-R\), поэтому другой фокус \(F\) лежит на окружности радиуса \(|PF|=l_2=2a-R\) с центром в \(P\).

    iii) Это предыдущая часть наоборот. Так как задано расстояние до одного фокуса \(|QS|=r\), расстояние до другого фокуса выражается как \(|QF|=2a-r\).

    iv) Точки \(P\), \(Q\) и \(F\) образуют треугольник, для которого мы выразили две стороны: \(|PF|\) и \(|QF|\). Третья сторона \(QP\) должна удовлетворять неравенству \(|QP|\le|PF|+|QF|\). Максимум \(|QP|_{\max}\) достигается для вырожденного треугольника (все три точки лежат на одной прямой). Следовательно, \(|QP|_{\max}=4a-R-r\).

    v) Оказывается, что для всех точек \(Q\) максимального расстояния сумма \(|SQ|+|PQ|\) постоянна и равна \(4a-R\). Это означает, что она тоже определяет эллипс с фокусами \(S\) и \(P\) и большой полуосью \(2a-R/2\). Этот эллипс — граница области, которую мы можем поразить.

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх