Аннигиляция

Полная энергия электрона — кинетическая плюс энергия покоя; фотоны разлетаются симметрично относительно траектории электрона, а закон сохранения импульса вдоль оси \(z\) связывает угол с импульсом электрона.

i) \(v_e\approx0{,}941\,c\);  ii) \(E_\gamma\approx1{,}01\) МэВ;  iii) \(p_\gamma\approx1{,}01\) МэВ\(/c\);  iv) \(\alpha\approx45{,}3^\circ\);  v) см. решение.

i) Полная энергия электрона \(E=\gamma m_ec^2\), откуда \(\gamma=\dfrac{E}{m_ec^2}\), где \(E=T+m_ec^2\) (\(T=1\) МэВ — заданная кинетическая энергия). Теперь \(\gamma=1/\sqrt{1-v_e^2/c^2}\), поэтому \[v_e=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=c\sqrt{1-\frac{m_e^2c^4}{E^2}}=c\,\frac{\sqrt{T^2+2Tm_ec^2}}{T+m_ec^2}.\] Численно \(v_e\approx0{,}941\,c\).

ii) Фотоны разлетаются симметрично относительно траектории электрона: в системе отсчёта с нулевым полным импульсом закон сохранения импульса означает, что у фотонов равные по модулю импульсы и, следовательно, равные энергии, а летят они в строго противоположных направлениях; их энергии могут быть равны и в системе позитрона, только если они летят совершенно симметрично. Каждый фотон получает половину полной энергии системы: \(E_\gamma=\dfrac12(T+2m_ec^2)\approx1{,}01\) МэВ.

iii) \(E_\gamma=p_\gamma c\ \Longrightarrow\ p_\gamma=E_\gamma/c=1{,}01\) МэВ\(/c\).

iv) Из \(E^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\) импульс электрона \(p_e=\sqrt{\dfrac{E^2}{c^2}-m_e^2c^2}=\dfrac1c\sqrt{T^2+2Tm_ec^2}\). (Эквивалентный результат получается из \(p_e=\gamma m_ev_e\).) Закон сохранения импульса в направлении оси \(z\) даёт \(p_e=2p_\gamma\cos\alpha\), откуда \[\alpha=\arccos\frac{p_e}{2p_\gamma}=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+2m_ec^2/T}}=\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{2m_ec^2}{T}}\approx45{,}3^\circ.\]

v) В системе центра масс полный импульс любой системы равен нулю. Это значит, что если результатом столкновения была бы всего одна частица, то её импульс в системе центра масс должен был бы быть равен нулю. Но импульс фотона никогда не может быть нулевым, иначе у него была бы нулевая энергия и бесконечная длина волны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.