Фотонная ракета

Для второго пункта сравните систему «корабль + сожжённый межзвёздный газ» в начальный и конечный моменты: сохраняются энергия и импульс, а у фотонного облака энергия и импульс связаны как у света. Для третьего — релятивистский эффект Доплера.

1) \(\mu=\dfrac{Mg}{2c}\approx1{,}6\cdot10^{-3}\) кг/с;  2) \(v_f=\dfrac{180}{181}\,c\approx0{,}9945\,c\);  3) \(f_{\text{набл}}=\dfrac{f_0}{19}\).

i) (1 балл) При нерелятивистских скоростях можно применять классические законы сохранения импульса и энергии, чтобы найти ускорение через скорость сжигания антивещества \(\mu\). За промежуток времени \(\Delta t\) аннигилирует масса \(\Delta m=\mu\Delta t\) антивещества с равной массой вещества. Получившиеся фотоны имеют энергию, равную аннигилировавшей энергии покоя, \(\Delta E=2\Delta m\,c^2\). Для максимального ускорения все фотоны должны излучаться в одном направлении (этого можно добиться, например, с помощью зеркал). Тогда импульс фотонного облака равен \(\Delta p=\Delta E/c\). По закону сохранения импульса корабль получает импульс в противоположном направлении, равный \(\Delta p=M\Delta v=Mg\Delta t\). Объединяя всё, получаем \(\mu=Mg/(2c)=1{,}635\times10^{-3}\) кг/с.

ii) (3 балла) Конечную скорость проще всего найти, применяя законы сохранения энергии и импульса (4-импульса) в начальной и конечной конфигурациях.

Если конечная масса покоя корабля равна \(m_f\), то за всё время ускорения сгорело \(M-m_f\) антивещества и столько же вещества из межзвёздного газа. Поэтому удобно рассматривать систему «корабль + сожжённый межзвёздный газ». Начальная масса покоя системы равна \(M+(M-m_f)=2M-m_f=M_i\). Ей соответствует энергия \(E_i=M_ic^2\) и импульс \(p_i=0\), так как газ и корабль вначале покоятся.

В конечной конфигурации имеем корабль, движущийся со скоростью \(v\), с энергией \(E_f\) и импульсом \(p_f\). Есть также фотонное облако с энергией \(E_p\) и импульсом \(p_p\), движущееся противоположно кораблю. Законы сохранения энергии и импульса: \(E_f+E_p=E_i\) и \(p_i=0=p_f+p_p\). Есть и инвариант 4-импульса для корабля и для фотонного газа: \(E_f^2-p_f^2c^2=m_f^2c^4\) и \(E_p^2-p_p^2c^2=0\). Решая эти четыре уравнения с четырьмя неизвестными, получаем \[p_f=\frac{M_i^2-m_f^2}{2M_i}\,c,\qquad E_f=\frac{M_i^2+m_f^2}{2M_i}\,c^2 .\] Скорость можно было бы найти, решая релятивистское выражение для энергии \(E_f=m_f\gamma_fc^2\) с \(\gamma_f=(1-v_f^2/c^2)^{-1/2}\). Но быстрее воспользоваться выражением для конечного импульса \(p_f=m_f\gamma_fv\) и заметить, что \[v_f=\frac{p_f}{E_f}\,c^2=\frac{M_i^2-m_f^2}{M_i^2+m_f^2}\,c=\frac{(2M-m_f)^2-m_f^2}{(2M-m_f)^2+m_f^2}\,c=\frac{180}{181}\,c\approx0{,}9945\,c .\]

Второе решение (Oskar Vallhagen). Другой способ — найти реактивную силу, действующую на ракету, и с её помощью получить уравнение для изменения скорости. За время \(dt\) энергия, выделяемая в виде фотонов при сжигании антивещества ракеты, равна \(\gamma\mu\,dt\,c^2\) (включая кинетическую энергию этой массы), а энергия, выделяемая обычным веществом, необходимым для аннигиляции, равна \(\mu\,dt\,c^2\). Поскольку импульс фотона обратно пропорционален длине волны, которая в системе покоя смещена в красную сторону по сравнению с системой ракеты в \(\sqrt{1+v/c}\,/\sqrt{1-v/c}\) раз, соответствующее изменение импульса фотонов в системе покоя равно \[dp_{\text{ph}}=(\gamma+1)\mu\,dt\,c\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} .\] Теперь силу, действующую на ракету, можно выразить так: \[\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\gamma vm)=m\left(\gamma^3\frac{v^2}{c^2}+\gamma\right)\frac{dv}{dt}-\gamma v\mu=m\gamma^3\frac{dv}{dt}-\gamma v\mu=\frac{dp_{\text{ph}}}{dt}=(\gamma+1)\mu c\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} .\] Перейдём от времени к массе, заметив, что \(\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dm}\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{dv}{dm}\mu\); получаем \[-m\gamma^3\frac{dv}{dm}-\gamma v=(\gamma+1)c\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} .\] Это уравнение решается разделением переменных: \[\int_M^{m_f}\frac{dm}{m}=\int_0^{v_f}-\frac{\gamma^3\,dv}{\gamma v+(\gamma+1)c\sqrt{\dfrac{1-v/c}{1+v/c}}},\] что упрощается до \[\ln\frac{m_f}{M}=\int_0^{v_f/c}-\frac{dx}{(1-x)\left(\sqrt{1-x^2}+x+1\right)}=I(v_f/c)-I(0),\] где \(x=v/c\), а \(I\) — неопределённый интеграл. Для его вычисления сделаем сначала подстановку \(x=\sin y\). Тогда \(\sqrt{1-x^2}=\cos y\) и \(dx=\cos y\,dy\), и неопределённый интеграл принимает вид \[I=\int-\frac{\cos y\,dy}{(1-\sin y)(\cos y+\sin y+1)} .\] Сделаем ещё одну подстановку \(z=\operatorname{tg}(y/2)\), при которой \(\sin y=\dfrac{2z}{1+z^2}\), \(\cos y=\dfrac{1-z^2}{1+z^2}\), \(dy=\dfrac{2}{1+z^2}\,dz\), так что после некоторых преобразований интеграл становится равным \[I=\int\frac{-dz}{1-z}=\ln(1-z).\] Возвращаясь к исходной переменной, используем тригонометрические выражения \(\sin y=2\sin(y/2)\cos(y/2)\) и \(\cos y=2\cos^2(y/2)-1\), чтобы переписать \(z=\operatorname{tg}(y/2)=\dfrac{\sin(y/2)}{\cos(y/2)}=\dfrac{\sin y}{2\cos^2(y/2)}=\dfrac{\sin y}{1+\cos y}=\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\). Подставляя в исходный интеграл, получаем \[\ln\frac{m_f}{M}=\ln\left(1-\frac{x_f}{1+\sqrt{1-x_f^2}}\right)\;\Rightarrow\;\frac1{10}=1-\frac{x_f}{1+\sqrt{1-x_f^2}}\;\Rightarrow\;x_f=\frac{180}{181}.\]

iii) (1 балл) Последний фотон испускается, когда корабль движется со скоростью \(v_f\). Фотон регистрирует неподвижный наблюдатель. Можно сразу воспользоваться релятивистским эффектом Доплера: \[f_{\text{набл}}=f_0\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}=\frac{m_f}{M_i}\,f_0=\frac{m_f}{2M-m_f}\,f_0=\frac{1}{19}\,f_0 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.