Масса фотона

Приравняйте две формулы для энергии фотона — \(hc/\lambda\) и релятивистскую — и выразите скорость фотона через длину волны.

\(m = \sqrt{\dfrac{2h^2\tau}{c^2T\left(\lambda_1^2 - \lambda_2^2\right)}} \approx 1{,}6\cdot10^{-40}\) кг.

Для выражения скорости \(v\) «массивного» фотона через длину \(\lambda\) соответствующей ему световой волны запишем энергию фотона двумя способами: \[E = \dfrac{hc}{\lambda},\qquad E = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.\] Приравняв эти формулы, находим искомую связь: \[v = c\sqrt{1 - \dfrac{m^2c^2\lambda^2}{h^2}}. \tag{1}\] Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости фотонов с длинами волн \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) соответственно, тогда \[\tau = \dfrac{cT}{v_1} - \dfrac{cT}{v_2},\] откуда с использованием выражения (1) получаем уравнение для \(m\): \[\dfrac{\tau}{T} = \left(1 - \dfrac{m^2c^2\lambda_1^2}{h^2}\right)^{-1/2} - \left(1 - \dfrac{m^2c^2\lambda_2^2}{h^2}\right)^{-1/2}.\] Обе дроби в скобках малы, поэтому воспользуемся приведённым в условии приближением и запишем \[\dfrac{\tau}{T} \approx \dfrac{m^2c^2}{2h^2}\left(\lambda_1^2 - \lambda_2^2\right),\] откуда находим искомую массу фотона по мнению Глюка: \[m = \sqrt{\dfrac{2h^2\tau}{c^2T\left(\lambda_1^2 - \lambda_2^2\right)}} \approx 1{,}6\cdot10^{-40}\text{ кг}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.