Колебания заряда

Найдите поле кольца вблизи центра, применив теорему Гаусса к малому цилиндру, нижнее основание которого лежит в плоскости кольца.

\(T = 4\pi R\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0m}{\rho q}}\).

Если сместить заряд \(q\) из положения равновесия в центре кольца на малое расстояние \(x\) в плоскости кольца, то на этот заряд будет действовать возвращающая электрическая сила \(F = qE\), где \(E\) — напряжённость поля, создаваемого кольцом на расстоянии \(x\) от центра. Для расчёта \(E\) рассмотрим цилиндр малой высотой \(h\) и радиусом \(x\), нижнее основание которого лежит в плоскости кольца, а центр этого основания совпадает с центром кольца (см. рисунок).

В силу симметрии кольца поле в центре верхнего основания направлено вдоль оси цилиндра, а напряжённость \(E_0\) этого поля можно найти по принципу суперпозиции, разбив кольцо на множество точечных зарядов: \[E_0 = \dfrac{\rho\cdot2\pi R}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + h^2)}\cdot\dfrac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \approx \dfrac{\rho h}{2\varepsilon_0R^2}.\] Из условия малости \(h\) и \(x\) по сравнению с \(R\) следует, что во всех точках боковой поверхности цилиндра перпендикулярная составляющая поля примерно равна \(E\), а во всех точках верхнего основания — примерно равна \(E_0\). Отсюда находим потоки поля \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) через боковую поверхность и верхнее основание цилиндра соответственно: \[\Phi_1 \approx -E\cdot2\pi xh,\qquad \Phi_2 \approx E_0\cdot\pi x^2.\] В силу симметрии кольца поток поля через нижнее основание отсутствует, а поскольку внутри цилиндра зарядов нет, из теоремы Гаусса следует \[\Phi_1 + \Phi_2 = 0,\] откуда после подстановки выражений для \(\Phi_1\), \(\Phi_2\) и \(E_0\) получаем \[E = \dfrac{\rho x}{4\varepsilon_0R^2}\qquad\text{и}\qquad F = qE = \dfrac{q\rho x}{4\varepsilon_0R^2}.\] Сила \(F\) прямо пропорциональна смещению \(x\), поэтому можно определить эффективную жёсткость \(k = F/x\) и найти период колебаний по формуле для физического маятника: \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 4\pi R\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0m}{\rho q}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.