Запутанная цепь

По закону Ома ток между выводами \((C; D)\) линейно зависит от двух напряжений — на \((A; B)\) и на \((C; D)\); коэффициенты найдите из первых двух опытов.

\(P = \mathcal{E}I_1\left(\dfrac{\mathcal{E}}{U_1} - \dfrac{U_2}{\mathcal{E}}\right)\).

Согласно закону Ома сила тока через любой резистор пропорциональна напряжению на нём, поэтому сила тока \(I_{CD}\) между выводами \((C; D)\) вне зависимости от запутанности цепи зависит от напряжения \(U_{AB}\) между \((A; B)\) и напряжения \(U_{CD}\) между \((C; D)\) линейно: \[I_{CD} = a\cdot U_{AB} + b\cdot U_{CD}, \tag{1}\] где \(a\) и \(b\) — некоторые константы. Поочерёдно применив формулу (1) к условиям и результатам опытов (в первом \(I_{CD} = I_1\), \(U_{AB} = \mathcal{E}\), \(U_{CD} = 0\); во втором \(I_{CD} = 0\), \(U_{AB} = \mathcal{E}\), \(U_{CD} = U_1\); нулевые значения обусловлены идеальностью приборов), получаем систему уравнений \[I_1 = a\cdot\mathcal{E} + b\cdot 0\qquad\text{и}\qquad 0 = a\cdot\mathcal{E} + b\cdot U_1,\] из которой находим параметры цепи: \[a = \dfrac{I_1}{\mathcal{E}}\qquad\text{и}\qquad b = -\dfrac{I_1}{U_1}.\] Подставив в формулу (1) условия третьего опыта (\(U_{AB} = U_2\), \(U_{CD} = \mathcal{E}\)), получаем силу тока через источник: \[I_{CD} = a\cdot U_2 + b\cdot\mathcal{E} = I_1\left(\dfrac{U_2}{\mathcal{E}} - \dfrac{\mathcal{E}}{U_1}\right).\] Поскольку источник и приборы идеальные, искомая суммарная мощность, выделяющаяся на всех резисторах цепи, равна мощности источника: \[P = \mathcal{E}I_{CD} = \mathcal{E}I_1\left(\dfrac{U_2}{\mathcal{E}} - \dfrac{\mathcal{E}}{U_1}\right). \tag{2}\] Приборы показывают абсолютные значения измеряемых величин без учёта их знака, то есть из опытов известны только модули входящих в формулу (2) значений \(I_1\), \(U_1\) и \(U_2\), которые до сих пор рассматривались как алгебраические величины, поэтому знаки в формуле (2) следует расставить заново в соответствии с физическим смыслом. Если в последнем опыте выводы \((C; D)\) закоротить, то напряжение \(U_2\) уменьшится до нуля, общее сопротивление цепи тоже уменьшится, а потому выделяющаяся мощность увеличится. Следовательно, мощность убывает с ростом \(U_2\), то есть перед \(U_2\) должен стоять минус. А для выполнения условия \(P > 0\) нужно, чтобы хотя бы одно слагаемое в скобках было положительным. Таким образом, окончательный ответ имеет вид \[P = \mathcal{E}I_1\left(\dfrac{\mathcal{E}}{U_1} - \dfrac{U_2}{\mathcal{E}}\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.