Составной стержень

Сила натяжения в висящем стержне растёт линейно вдоль него, поэтому в закон Гука можно подставить её среднее значение.

1) \(\dfrac{L_1}{L_2} = \sqrt{\dfrac{\rho_2E_1\Delta L_1}{\rho_1E_2\Delta L_2}} = 3\);  2) если первый стержень сверху, \(\Delta L_{12} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + 2\sqrt{\dfrac{\rho_2E_2}{\rho_1E_1}\cdot\Delta L_1\Delta L_2} = 13\) мм; если первый снизу, \(\Delta L_{21} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + 2\sqrt{\dfrac{\rho_1E_1}{\rho_2E_2}\cdot\Delta L_1\Delta L_2} = 20\) мм.

Рассмотрим однородный стержень, имеющий длину \(L\), площадь поперечного сечения \(S\), плотность \(\rho\) и модуль Юнга \(E\). Если такой стержень подвесить за один конец и приложить ко второму концу силу \(F\), направленную вниз, то сила натяжения будет линейно расти вдоль стержня от значения \(F_1 = F\) вблизи нижнего конца до значения \(F_2 = F + \rho SLg\) около точки подвеса.

Поскольку сила натяжения линейно зависит от координаты, можно найти общее удлиннение \(\Delta x\), подставив среднюю силу \(F_{\text{ср}} = (F_1 + F_2)/2\) в закон Гука: \[\Delta x = \dfrac{F_{\text{ср}}L}{ES} = \dfrac{FL}{ES} + \dfrac{\rho gL^2}{2E}. \tag{1}\] 1. При поочерёдном подвешивании стержней дополнительная сила \(F\) отсутствует, поэтому из общей формулы (1) получаем при \(F = 0\) соотношения для обоих частных случаев: \[\Delta L_1 = \dfrac{\rho_1gL_1^2}{2E_1}\qquad\text{и}\qquad \Delta L_2 = \dfrac{\rho_2gL_2^2}{2E_2}. \tag{2}\] Поделив одно на другое, находим искомое отношение: \[\dfrac{L_1}{L_2} = \sqrt{\dfrac{\rho_2E_1\Delta L_1}{\rho_1E_2\Delta L_2}} = 3.\] 2. Соединить два стержня в один составной можно двумя способами. Пусть первый стержень находится сверху, а второй — снизу, тогда общее удлинение составного стержня складывается из увеличенного за счёт веса второго стержня удлинения \(\Delta L_1'\) первого стержня и прежнего значения удлинения \(\Delta L_2\) второго стержня: \[\Delta L_{12} = \Delta L_1' + \Delta L_2.\] Подставляя \(F = \rho_2SL_2g\) в формулу (1) для расчёта \(\Delta L_1'\) и используя соотношения (2) для исключения лишних неизвестных, окончательно получаем \[\Delta L_{12} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + 2\sqrt{\dfrac{\rho_2E_2}{\rho_1E_1}\cdot\Delta L_1\Delta L_2} = 13\text{ мм}.\] Пусть теперь первый стержень находится снизу, а второй — сверху, тогда для получения ответа достаточно заменить индексы в предыдущей формуле: \[\Delta L_{21} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + 2\sqrt{\dfrac{\rho_1E_1}{\rho_2E_2}\cdot\Delta L_1\Delta L_2} = 20\text{ мм}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.