Выбор автомобиля

Трение действует только на ведущие колёса, поэтому нужно связать силы нормальной реакции передней и задней пар колёс уравнением моментов относительно центра масс.

1) \(\varphi_1 = \operatorname{arctg}\dfrac{\mu}{2 + \mu h/d} = \operatorname{arctg}\dfrac{2}{9} \approx 12{,}5^\circ\),  \(\varphi_2 = \operatorname{arctg}\dfrac{\mu}{2 - \mu h/d} = \operatorname{arctg}\dfrac{2}{7} \approx 15{,}9^\circ\);  2) \(t_1 = \dfrac{2v}{\mu g}\left(1 + \dfrac{\mu h}{2d}\right) = \dfrac{9v}{2g} \approx 12{,}5\) с,  \(t_2 = \dfrac{2v}{\mu g}\left(1 - \dfrac{\mu h}{2d}\right) = \dfrac{7v}{2g} \approx 9{,}7\) с.

Обозначим через \(m\) массу автомобиля, а через \(N_1\) и \(N_2\) — силы нормальной реакции дороги, действующие на переднюю и заднюю пару колёс соответственно. В качестве полюса для вычисления моментов выберем центр масс \(C\) системы, а для проецирования сил направим ось \(x\) вдоль вектора скорости автомобиля, а ось \(y\) — в вертикальной плоскости перпендикулярно оси \(x\).

1. При движении переднеприводного автомобиля с постоянной скоростью в гору под углом \(\varphi_1\) к горизонту сила трения со стороны дороги действует только на передние колёса и достигает максимального значения, поэтому условие равенства сил и уравнение моментов для автомобиля имеют вид \[\begin{cases} x: & \mu N_1 = mg\sin\varphi_1,\\ y: & N_1 + N_2 = mg\cos\varphi_1,\\ C: & N_1\cdot d + \mu N_1\cdot h = N_2\cdot d, \end{cases}\] откуда после исключения \(N_1\) и \(N_2\) получаем первый искомый угол: \[\varphi_1 = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\mu}{2 + \mu h/d}\right) = \operatorname{arctg}\dfrac{2}{9} \approx 12{,}5^\circ.\] Аналогично, при движении заднеприводного автомобиля с постоянной скоростью в гору под углом \(\varphi_2\) к горизонту сила трения со стороны дороги действует только на задние колёса и достигает максимального значения, поэтому условие равенства сил и уравнение моментов для автомобиля имеют вид \[\begin{cases} x: & \mu N_2 = mg\sin\varphi_2,\\ y: & N_1 + N_2 = mg\cos\varphi_2,\\ C: & N_1\cdot d + \mu N_2\cdot h = N_2\cdot d, \end{cases}\] откуда после исключения \(N_1\) и \(N_2\) получаем второй искомый угол: \[\varphi_2 = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\mu}{2 - \mu h/d}\right) = \operatorname{arctg}\dfrac{2}{7} \approx 15{,}9^\circ.\] 2. Пусть \(a_1\) — максимальное ускорение переднеприводного автомобиля при разгоне по горизонтальной дороге, тогда второй закон Ньютона и уравнение моментов для автомобиля имеют вид \[\begin{cases} x: & \mu N_1 = ma_1,\\ y: & N_1 + N_2 = mg,\\ C: & N_1\cdot d + \mu N_1\cdot h = N_2\cdot d, \end{cases}\] откуда после исключения \(N_1\) и \(N_2\) выражаем \(a_1\) и находим искомое время: \[a_1 = \dfrac{\mu g}{2 + \mu h/d},\qquad t_1 = \dfrac{v}{a_1} = \dfrac{2v}{\mu g}\left(1 + \dfrac{\mu h}{2d}\right) = \dfrac{9v}{2g} \approx 12{,}5\text{ с}.\] Аналогично, пусть \(a_2\) — максимальное ускорение заднеприводного автомобиля при разгоне по горизонтальной дороге, тогда второй закон Ньютона и уравнение моментов для автомобиля имеют вид \[\begin{cases} x: & \mu N_2 = ma_2,\\ y: & N_1 + N_2 = mg,\\ C: & N_1\cdot d + \mu N_2\cdot h = N_2\cdot d, \end{cases}\] откуда после исключения \(N_1\) и \(N_2\) выражаем \(a_2\) и находим искомое время: \[a_2 = \dfrac{\mu g}{2 - \mu h/d},\qquad t_2 = \dfrac{v}{a_2} = \dfrac{2v}{\mu g}\left(1 - \dfrac{\mu h}{2d}\right) = \dfrac{7v}{2g} \approx 9{,}7\text{ с}.\] Примечание. Таким образом, переднеприводные автомобили проигрывают по основным характеристикам заднеприводным аналогам, что и стало причиной массового распространения именно последних. Заметим сходство соответствующих промежуточных формул в первом и втором пунктах: \[\operatorname{tg}\varphi_1 = \dfrac{a_1}{g} = \dfrac{\mu}{2 + \mu h/d} = \dfrac{2}{9},\qquad \operatorname{tg}\varphi_2 = \dfrac{a_2}{g} = \dfrac{\mu}{2 - \mu h/d} = \dfrac{2}{7}.\] Эти совпадения не случайны и связаны с фундаментальной неразличимостью гравитационного взаимодействия и сил инерции. Если в первом пункте разложить силу тяжести на две составляющие, а во втором пункте перейти в неинерциальную систему отсчёта, связанную с автомобилем, то составляющие силы тяжести из первого пункта будут принципиально эквивалентны возникшей силе инерции и полной силе тяжести из второго пункта. Этот факт можно было использовать, чтобы лишний раз не решать системы уравнений.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.