Два корабля

Масса корабля сокращается; угол отклонения зависит только от одной безразмерной комбинации величин \(\gamma\), \(M\), \(l\) и \(v\) — составьте её по размерностям.

\(l_2 = l_1\cdot\dfrac{v_1^2}{v_2^2}\).

Сначала проанализируем, от чего зависит угол \(\varphi\) отклонения корабля в поле тяжести звезды. Масса \(m\) корабля входит и во второй закон Ньютона, и в закон всемирного тяготения, поэтому она сокращается при вычислении ускорения и не влияет на \(\varphi\). Следовательно, угол поворота может зависеть только от массы звезды \(M\), скорости \(v\) корабля вдали от звезды, минимального расстояния \(l\) между кораблём и звездой, а также от гравитационной постоянной \(\gamma\), которая нужна для правильного применения теории размерностей, хотя и является константой.

Интересующие нас величины имеют следующие размерности: \[[\varphi] = 1,\qquad [\gamma] = \dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2},\qquad [M] = \text{кг},\qquad [l] = \text{м},\qquad [v] = \dfrac{\text{м}}{\text{с}}.\] Среди всех возможных произведений и отношений величин \(\gamma\), \(M\), \(l\) и \(v\) существует единственная их независимая безразмерная комбинация: \[x = \dfrac{\gamma M}{lv^2}.\] Значит, \(\varphi = f(x)\), где \(f(x)\) — некоторая однозначная функция.

Теперь проанализируем, как именно \(\varphi\) зависит от \(x\). Если увеличить массу \(M\) звезды при неизменных \(l\) и \(v\), то сила взаимодействия и соответственно угол отклонения увеличатся, следовательно, \(f(x)\) — строго возрастающая функция, так как значение \(x\) прямо пропорционально \(M\).

Равенство углов отклонения кораблей даёт уравнение \[f\left(\dfrac{\gamma M}{l_1v_1^2}\right) = f\left(\dfrac{\gamma M}{l_2v_2^2}\right).\] Из строгого возрастания функции \(f(x)\) следует её обратимость, то есть равенство значений функции возможно только в случае равенства аргументов: \[\dfrac{\gamma M}{l_1v_1^2} = \dfrac{\gamma M}{l_2v_2^2}.\] Отсюда получаем окончательный ответ: \[l_2 = l_1\cdot\dfrac{v_1^2}{v_2^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.