Относительность движения, сложение скоростей

В течение какого времени скорый поезд длиной 300 м, идущий со скоростью 72 км/ч, будет проходить мимо встречного товарного состава длиной 600 м, идущего со скоростью 36 км/ч? Ответ выразите в с.

Человек добегает до вершины эскалатора длиной 100 м за 20 секунд, если бежит по ходу эскалатора, и за 100 секунд, если бежит против хода. Какова скорость эскалатора? Ответ дать в м/с.

Электропоезд Орел-Курск длиной \(150\text{ м}\) движется со скоростью \(15\text{ м/с}\). Навстречу ему со скоростью \(10\text{ м/с}\) движется электропоезд Курск-Орел длиной \(200\text{ м}\). За какое время электропоезд Орел-Курск проезжает мимо пассажира последнего вагона электропоезда Курск-Орел?

Карл украл из сумочки Клары кораллы и побежал со скоростью 4 м/c. Клара заметила пропажу в тот момент, когда Карл находился на расстоянии 30 м, и побежала вдогонку за ним со скоростью 5 м/с. Какое расстояние должна пробежать Клара, чтобы, опередив Карла на 10 м, показать ему его драгоценный кларнет?

Ниф-ниф, Наф-наф и Нуф-нуф бегут по прямой просёлочной дороге с постоянными скоростями. В некоторый момент Ниф-ниф и Наф-наф сближаются со скоростью 10 м/с, двигаясь в противоположных направлениях, а Наф-наф и Нуф-нуф удаляются друг от друга со скоростью 1 м/с.

1. Какова относительная скорость Ниф-нифа и Нуф-нуфа, если известно, что в рассматриваемый момент времени они удаляются друг от друга? Ответ выразите в м/с, округлите до целого числа.

2. У кого скорости направлены в одну сторону?

Помогая Ивану-Царевичу найти смерть Кощея Бессмертного, медведь, двигаясь равномерно, забрался на вершину векового дуба высотой 90 метров, чтобы скинуть сундук. Из разбитого сундука выпрыгнул заяц, за которым погнался заяц Ивана. Затем вылетевшую со скоростью 126 км/ч из зайца утку догонял Иванов селезень, двигаясь с постоянной скоростью и изначально находившийся в 120 м от утки. Погоня селезня длилась 24 секунды. Определите время влезания медведя на дуб (в секундах), если известно, что его скорость составляет 1,5% от скорости селезня.

Школьник Вася, стоя на эскалаторе, поднялся наверх за 1 мин. Его друг Петя, идя по эскалатору вверх, поднялся за 40 с. Сколько времени понадобится Пете, чтобы по тому же эскалатору спуститься вниз (против движения эскалатора), если он будет бежать со скоростью в три раза быстрее, чем идет?

Вертикальные ворота опускаются со скоростью 3,6 км/ч. С какой скоростью должна ползти змейка, чтобы успеть проползти под воротами, если длина змейки 0,2 м, а высота проема ворот 4 м? Голова змейки начала пересекать линию ворот в момент, когда они начали опускаться. Ответ дайте в см/с.

Школьник Владислав идёт по движущемуся вверх эскалатору, поднимаясь за 20 с. Школьник Ярослав, стоя на этом же эскалаторе, поднимается за 60 с.

1. За какое время Владислав будет подниматься по эскалатору вверх, если эскалатор остановить? Ответ представьте в секундах и округлите до целых.

2. За какое время Владислав будет подниматься по эскалатору вверх, если эскалатор запустят в обратном направлении с такой же по модулю скоростью, как и при движении вверх? Ответ представьте в секундах и округлите до целых.

По дороге едут навстречу друг другу грузовик и автобус. Скорость грузовика 20 м/с, скорость автобуса 25 м/с. Позади грузовика едет легковой автомобиль. С какой минимальной средней скоростью должен ехать легковой автомобиль, чтобы безопасно обогнать грузовик, если в начале обгона расстояние от носа грузовика до носа автобуса 400 м, легковой автомобиль находится на расстоянии 15 м от грузовика, а длина грузовика 15 м? Обгон безопасен, если легковой автомобиль заканчивает его на расстоянии 20 м от грузовика и 80 м от встречного автобуса. Размеры легкового автомобиля не учитывать. Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.

Стоящий на палубе скоростного патрульного катера офицер с секундомером в руках замечает, что катер обгоняет круизный лайнер, идущий в ту же сторону параллельным курсом, за 10 с. В то же время встречное грузовое судно проходит мимо катера за 5 с. Скорость круизного лайнера в полтора раза меньше скорости грузового судна. Найти скорость патрульного катера и скорость грузового судна, если длина палубы круизного лайнера 100 м, а у грузового судна "— 200 м. Размерами катера пренебречь. Ответ выразите в м/с, округлите до целого числа. Введите полученную скорость патрульного катера в первое поле, а скорость грузового судна во второе поле.

Два исследовательских марсохода передвигаются навстречу друг другу по плато Эллада на Марсе с постоянными скоростями вдоль прямой, соединяющей их. Скорость первого аппарата составляет 30 км/ч, скорость второго "— 45 км/ч. В определённый момент, когда бортовые системы зафиксировали расстояние в 90 км между аппаратами, с первого марсохода запускается разведывательный дрон. Дрон движется по прямой линии ко второму марсоходу со скоростью 225 км/ч. Достигнув второго марсохода, дрон проводит рядом с ним 18 минут, собирая и передавая телеметрию и изображения, а затем возвращается на первый марсоход, вновь двигаясь со скоростью 225 км/ч.

1. Какое общее время дрон находился вне первого марсохода? Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

2. Каков был суммарный путь, пройденный дроном за всё время его миссии? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Внимание! При вычислениях следует использовать приближённые равенства: \(\sqrt5\approx2{,}2\), \(\sqrt3\approx1{,}7\), \(\sqrt2\approx1{,}4\). Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\text{ м/с}^2\).

По реке, скорость течения которой равна \(0{,}5\) м/с, движется баржа. Скорость баржи в стоячей воде равна \(2{,}5\) м/с. Баржа движется против течения. По палубе от борта к борту ходит матрос. Его скорость относительно баржи равна \(1{,}0\) м/с и в любой момент времени направлена перпендикулярно скорости баржи. Ширина палубы составляет 10 м. Матрос начинает движение от одного из бортов. Временем разворота матроса можно пренебречь.

1. (1 балл) Найдите скорость матроса относительно берега. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

2. (0,5 балла) Определите модуль перемещения матроса относительно баржи за минуту с начала движения. Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

3. (0,5 балла) Чему равен модуль перемещения матроса относительно берега за то же время? Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

4. (1 балл) Чему равен путь, пройденный матросом относительно берега за минуту с начала движения? Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

Школьницы Ирина, Карина и Марина бегают по кругу в одном направлении с постоянными скоростями. Ирина и Карина встречаются каждые 2 минуты. Карина и Марина встречаются каждые 3 минуты. Как часто встречаются Ирина и Марина?

Пассажир поезда, идущего на станцию «Новые Васюки», заметил, что через каждые \(8\) минут мимо него проходит первый вагон встречного поезда. Он знал, что поезда уходят со станции «Новые Васюки» каждые \(20\) минут и следуют со скоростью \(60\text{ км/ч}\). С какой скоростью движется поезд пассажира? Ответ представьте в км/ч и округлите до целых.

Часовая стрелка на больших башенных часах в самом широком месте имеет ширину \(H = 13\) футов. От концов отрезка такой ширины на часовой стрелке до оси циферблата часов расстояние равно \(L = 25\) футов. Минутная стрелка на таком же расстоянии от оси циферблата имеет ширину \(h = 5\) футов. Стрелки движутся плавно (без скачков). Определите, за сколько секунд минутная стрелка обгоняет часовую (во время обгона она частично закрывает часовую стрелку). Считается, что обгон начинается в момент, когда минутная стрелка начинает закрывать часовую стрелку в ее самом широком месте, а заканчивается, когда стрелки перестают «перекрываться» в этом месте для наблюдателя, смотрящего на часы издалека.

В солнечную и безоблачную, но ветреную погоду школьник Ярослав запускает непрозрачный воздушный шарик, заполненный гелием. Двигаясь горизонтально со скоростью \(u = 2\) м/с, Ярослав обнаружил, что шарик (в системе отсчёта, связанной с Ярославом) поднимается вертикально вверх со скоростью \(v = 1\) м/с. Солнечные лучи падают на горизонтальную поверхность под углом \(45^\circ\) к вертикали. С какой скоростью может двигаться по земле тень шарика?

Экспериментатор Глюк приобрел прибор, измеряющий скорость ветра. Однажды, прогуливаясь с ним по открытой железнодорожной платформе, движущейся равномерно со скоростью \(v = 60\) км/ч, Глюк обнаружил, что когда он идет по ходу поезда, прибор показывает скорость ветра, дующего в лицо, равной \(v_1 = 50\) км/ч, а когда он идет обратно, скорость ветра, дующего в спину, становится равной \(v_2 = 40\) км/ч. Определите, за какое время экспериментатор проходит всю платформу в одну сторону, если ее длина \(L = 25\) м? С какой скоростью и в какую сторону дует ветер с точки зрения стоящего на станции дежурного, мимо которого проезжает поезд экспериментатора? Скорость ветра все время постоянна и направлена вдоль железнодорожных путей.

Коля, Маша и Вася расположились на одной прямой дороге, как показано на рисунке. Коля и Вася побежали одновременно навстречу друг другу со скоростями 5 м/с и 7 м/с соответственно. Куда и с какой скоростью должна бежать Маша, чтобы все ребята встретились за наикратчайшее время? Все бегут только в выбранном направлении, и при встрече двух участников они останавливаются.

Две расчески расположены друг за другом, как показано на рисунке. Верхняя расческа движется со скоростью 1 см/с влево, а нижняя удерживается на месте. С какой скоростью движутся тёмные треугольные области?

Два товарных поезда отправляются из Москвы в Санкт-Петербург с интервалом в 20 мин и едут с одинаковыми постоянными скоростями. Из Санкт-Петербурга в Москву с интервалом в 40 мин отправляются два рейсовых поезда, которые тоже едут с одинаковой постоянной скоростью. Машинист рейсового поезда заметил, что машинисты товарных поездов проехали мимо него с разницей в 8 мин. С каким интервалом проедут мимо машиниста товарного поезда машинисты рейсовых поездов?

По кольцевой трассе длинной 1200 м ездят два гоночных автомобиля. Скорость первого гонщика 40 м/с, второго – 55 м/с. Когда гонщики впервые встретились напротив своего тренера, который наблюдал за их заездом с трибуны, его часы показывали время 12:00. Какое время покажут часы тренера в тот момент, когда гонщики встретятся напротив него во второй раз?

Поднимаясь по движущемуся со скоростью 0,75 м/с вверх эскалатору, человек насчитал 80 ступенек. Сколько ступенек он насчитает, поднимаясь по неподвижному эскалатору, если скорость человека относительно эскалатора 1,5 м/c?

Корабль движется к берегу прямолинейно с постоянной скоростью. Вертолёт взлетел с корабля, долетел до берега через время \(T_1 = 40\) минут, развернулся и полетел назад с той же скоростью, затратив на возвращение к кораблю время \(T_2 = 30\) минут. Через какое время после возвращения вертолёта корабль доплывёт до берега? Ответ выразите в минутах и округлите до целых.

Атос и Портос начинают одновременно идти навстречу друг другу со скоростями \(v_1 = 3\) м/с и \(v_2 = 1\) м/с соответственно. Арамис сначала находится посередине между ними. Портос встретился с Арамисом через \(t_1 = 250\) с после начала своего движения, а с Атосом через \(t_2 = 12\) мин.

1. На каком расстоянии друг от друга первоначально находились Атос и Портос? Ответ выразите в м, округлите до целого числа.

2. Насколько позже стартовал Арамис, если скорость сближения Портоса с Арамисом в 2 раза больше скорости удаления Арамиса от Атоса? Ответ выразите в с, округлите до целого числа.

Велосипедист едет из города \(A\) в город \(B\) вдоль автотрассы со скоростью 20 км/ч. Во время поездки мимо него проезжают междугородние микроавтобусы, которые отправляются каждые 15 минут из города \(B\). Какое максимальное количество микроавтобусов мог повстречать велосипедист на своём пути от \(A\) до \(B\), если расстояние между городами равно 30 км, а скорость движения микроавтобуса равна 70 км/ч?

Друзья Вася и Петя, живущие в деревнях Липовка и Демушкино, были в гостях у своего друга Саши, который живёт в деревне Малиновка, расположенной точно посередине между деревнями Липовка и Демушкино. Нагостившись у Саши, Вася и Петя одновременно вышли и отправились каждый в свою деревню, чтобы вернуться домой через \(t_0 = 60\) мин. Спустя \(t_0/6 = 10\) мин после выхода своих друзей Саша обнаружил, что каждый из них забыл у него дома свои вещи. Саша решил догнать каждого из них по очереди и отдать им вещи. С какой минимальной скоростью \(u\) должен бежать Саша, чтобы успеть догнать каждого из своих друзей до того, как они вернутся в свои деревни? Скорости Васи и Пети одинаковы и равны \(v = 5\) км/час.

Красная Шапочка испекла 20 пирогов, сложила их в корзинку и отправилась через лес к больной бабушке. Когда до бабушки ей оставалось пройти 3 км, из кустов выскочил голодный волк с явным намерением съесть хоть что-нибудь. Увидев его, Красная Шапочка бросила на землю один пирог и побежала со скоростью 2,5 м/с. Волк съел пирог за 1 минуту и побежал за Красной Шапочкой со скоростью 5 м/с. Тогда Красная Шапочка стала бросать пироги, как только волк начинал ее догонять, и так добежала до бабушкиного дома. Сколько пирогов досталось бабушке?

Космонавт Ярослав, находясь на космической станции вдали от небесных тел, запускает космические аппараты, которые пролетают через облако межзвёздной пыли, неподвижное относительно Ярослава. Ярослав обнаружил, что скорость аппарата (относительно облака) через каждый километр пути уменьшается в три раза.

1. (1 балл) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 3 км/с. Какой будет скорость аппарата относительно Ярослава после пролёта 1 км пути внутри облака? Ответ представьте в км/с и округлите до второй значащей цифры.

2. (2 балла) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 0,9 км/с. Какой будет скорость аппарата относительно Ярослава после пролёта 2 км пути внутри облака? Ответ представьте в км/с и округлите до второй значащей цифры.

3. (3 балла) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 2,7 км/с. Через сколько километров пути внутри облака скорость аппарата относительно Ярослава станет равна 0,1 км/с? Ответ округлите до целых.

4. (4 балла) Ярослав, направившись к облаку со скоростью 0,3 км/с, запустил к облаку аппарат со скоростью 2,4 км/с (скорость считается относительно Ярослава). Через сколько километров пути внутри облака (путь считается относительно облака) скорость аппарата относительно Ярослава станет равной нулю? Ответ округлите до целых.

Вова, Саша и Егор одновременно начали движение с постоянными скоростями в одном направлении (по часовой стрелке) из трех равноудаленных друг от друга точек кругового мотовелотрека.

Через некоторое время Саша, движущийся на мотоцикле с самой большой скоростью, поравнялся с Вовой и Егором, которые в тот же момент встретились в первый раз. Какая скорость \(V\) могла быть у Саши, если Егор и Вова ехали на велосипедах со скоростями \(V_1 = 10\) км/ч и \(V_2 = 20\) км/ч, соответственно? Известно, что скорость Саши не превышала 80 км/ч.

В аэропорту Шереметьево в длинном переходе между двумя терминалами есть два параллельных друг другу траволатора – горизонтально расположенных эскалатора, имеющих одинаковые длины. Школьник Вася, отправляющийся на Международную физическую олимпиаду, заметил, что первый траволатор движется, а второй – выключен, и, ожидая свой рейс, решил немного развлечься. Он начал бегать по траволаторам туда-сюда, каждый раз возвращаясь в исходную точку. В первый раз Вася пробежал туда по движущемуся траволатору, а назад – по неподвижному. Во второй раз он пробежал туда по неподвижному траволатору, а назад – по движущемуся. Разность времен движения Васи в этих первом и втором забегах составила \(\Delta t_1 = 25\) с. В третий раз Вася пробежал в обе стороны по движущемуся траволатору, а в четвертый раз – в обе стороны по неподвижному. Разность времен движения Васи в третьем и в четвертом забегах оказалась равной \(\Delta t_2 = 5\) с. Вася развивает постоянную скорость относительно траволатора, скорость движения которого также постоянна и равна \(u = 1\) м/с. Найдите скорость \(V\) Васи относительно траволатора и определите длину траволатора. Считайте, что на ускорение, торможение и на разворот Вася тратит пренебрежимо мало времени.

Ракета удаляется от горизонтальной поверхности Земли со скоростью \(V\), направленной строго вертикально. Параллельно поверхности точно на запад летит самолет со скоростью \(V/\sqrt{3}\). 1) С какой наименьшей по модулю скоростью \(u\) и в каком направлении должен лететь (относительно Земли) квадрокоптер для того, чтобы относительно него ракета и самолет имели противоположные по направлению скорости? 2) Под каким углом к горизонту (относительно Земли) должна быть направлена скорость квадрокоптера для того, чтобы ракета и самолет имели в системе отсчета квадрокоптера противоположные по направлению и равные по модулю скорости? Чему равен модуль скорости квадрокоптера в этом случае?

Горизонтальная лента транспортера движется со скоростью \(u = 1\) см/с относительно земли. Таракан может бегать по ленте со скоростью \(V\) относительно ленты по нарисованному на ленте квадрату с длиной стороны \(a = 5\) см в направлении по часовой стрелке, если смотреть на ленту сверху. В начальный момент времени таракан находится в углу квадрата, в точке с координатой 0 по оси \(OX\), неподвижной относительно земли.

1. Если \(V = u\), то чему будет равна средняя скорость перемещения таракана относительно оси \(OX\) к моментам времени \(t_1 = 3a/(2V)\), \(t_2 = 5a/(2V)\) и \(t_3 = 7a/(2V)\)?

2. Для \(V = 2{,}5u\) нарисуйте траекторию таракана в системе отсчёта, неподвижной относительно земли, для первых 20 с движения.

3. При какой скорости таракана траектория представляет собой ломаную линию, не пересекающую саму себя?

Два товарных поезда отправляются из Москвы в Ярославль с интервалом в 10 мин и едут с одинаковыми постоянными скоростями \(v_1\). Из Ярославля в Москву с интервалом в 20 мин отправляются два пассажирских поезда, которые тоже едут с одинаковыми постоянными скоростями \(v_2\). Машинист пассажирского поезда заметил, что машинисты товарных поездов проехали мимо него с разницей в 4 мин.

1. Найдите отношение скоростей \(\dfrac{v_2}{v_1}\). Ответ округлите до десятых.

2. С каким интервалом проедут мимо машиниста товарного поезда машинисты пассажирских поездов? Ответ укажите в минутах и округлите до целых.

Колонна автомобилей движется прямолинейно со скоростью \(v = 36\) км/ч, равномерно растянувшись на 3 км. Два наблюдателя на мотоциклах начинают движение из центра колонны в противоположных направлениях со скоростями \(v_1 = 4v = 144\) км/ч (в направлении головы колонны) и \(v_2 = 2v = 72\) км/ч (в направлении хвоста колонны). Доехав до краёв колонны, мотоциклисты разворачиваются и продолжают движение с теми же скоростями в обратном направлении.

1. Определите, на каком расстоянии от головы колонны состоится их первая встреча. Ответ выразите в км, округлите до десятых.

2. Какой путь пройдёт колонна автомобилей за это время? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Два автомобиля без остановок курсируют с разными скоростями между двумя городами. Начинают они движение одновременно из двух разных городов. Первый раз «встречными курсами» они проезжают мимо друг друга через 1 час после начала движения. Следующий раз они встретились, двигаясь в разных направлениях.

1. Чему равно максимальное значение отношения скоростей автомобилей? Ответ округлите до целого числа.

2. Через какое время после первой встречи водители вновь увидят друг друга? Ответ выразите в часах, округлите до целого числа.

Машине длиной 4 м, едущей по шоссе, попадается на пути автобус длиной 14 м, который движется со скоростью 85 км/ч. Водитель также снижает скорость до 85 км/ч и начинает готовиться к обгону. Какое время понадобится для безопасного обгона, если скорость автомобиля при обгоне не превышает 95 км/ч, и автомобиль ускоряется равномерно так, что за каждую секунду скорость автомобиля увеличивается на 5 км/ч и после окончания обгона скорость автомобиля равна 95 км/ч. При безопасном обгоне расстояние между автомобилем и автобусом равно 15 м до и после обгона. Ответ выразите в секундах, округлите до десятых.

Две уточки плывут по реке так, что их траектории относительно берега представляют собой прямые, пересекающиеся под углом \(120^\circ\). Скорости уточек относительно берега равны 1 м/с. Скорость течения реки относительно любой из уточек равна 1 м/с, а относительно берега не больше 1,1 м/с.

1. (2 балла) Найдите скорость течения реки относительно берега. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

2. (1 балл) Найдите скорость одной уточки относительно другой. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ними?

На рисунке скорости шести выпущенных старым Мазаем зайцев изображены в системе координат, неподвижной относительно Мазая. Попробуйте нарисовать скорости Мазая и остальных зайцев в системе координат, неподвижной относительно зайца 1.

Одна из частиц пылевого облака (частица \(A\)) покоится, а все остальные разлетаются от неё в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от них до частицы \(A\). Какую картину движения обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей \(B\)?

С угла \(A\) квадратного плота спрыгнул в воду и поплыл вокруг плота пёс. Нарисуйте траекторию движения пса относительно берега, если он плывёт вдоль сторон плота, а его скорость относительно воды составляет \(4/3\) скорости течения реки. Сторона плота 4 м.

а. Капли дождя из-за сопротивления воздуха падают с постоянной скоростью \(v\), перпендикулярной поверхности земли. Как необходимо расположить цилиндрическое ведро, находящееся на движущейся со скоростью \(u\) платформе, чтобы капли не попадали на его стенки?

б. При скорости ветра 10 м/с капли дождя падают под углом \(30^\circ\) к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом \(45^\circ\)?

Буер представляет собой парусные сани. Он может двигаться лишь по линии, по которой направлены его коньки. Ветер дует со скоростью \(v\), перпендикулярной направлению движения буера. Парус же составляет \(30^\circ\) с направлением движения. Какую скорость не может превысить буер при этом ветре?

Какой будет продолжительность полёта самолёта из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полёта ветер дует под углом \(\alpha\) к трассе со скоростью \(u\)? Скорость самолёта относительно воздуха \(v\), длина трассы \(L\). При каком направлении ветра продолжительность полёта максимальна?

При упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость \(\vec v\) меняется лишь по направлению. Определите изменение после удара скорости этого тела, если стенка движется: а) со скоростью \(u\) навстречу телу; б) со скоростью \(w < v\) в направлении движения тела.

Тело налетает на стенку со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к линии, перпендикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка: а) неподвижна; б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью \(w\) навстречу телу; в) движется под углом \(\beta\) к линии, перпендикулярной ей самой, со скоростью \(w\) навстречу телу.

Внутри сферы радиуса \(R\), движущейся со скоростью \(u\), находится шарик радиуса \(r\), который в момент, когда он проходит через центр сферы, имеет скорость \(v\), перпендикулярную скорости \(u\). Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы. Удары абсолютно упругие.

Тело роняют над плитой на высоте \(h\) от неё. Плита движется вертикально вверх со скоростью \(u\). Определите время между двумя последовательными ударами тела о плиту. Удары абсолютно упругие.

Тело влетает горизонтально со скоростью \(v\) в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью \(u\). Определите скорость тела после \(n\)-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками \(L\). Удары абсолютно упругие.

Шестерёнка радиуса \(R\) помещена между двумя параллельными зубчатыми рейками. Рейки движутся со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) навстречу друг другу. Какова частота вращения шестерёнки?

Ядро, летящее со скоростью \(v\), распадается на два одинаковых осколка. Определите максимальный возможный угол \(\alpha\) между скоростью одного из осколков и вектором \(\vec v\), если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость \(u < v\).

Имеется пучок одинаковых ядер, движущихся со скоростью \(v\). Ядра в пучке самопроизвольно делятся на пары одинаковых осколков. Скорость осколков, движущихся в направлении пучка, равна \(3v\). Найдите скорость осколков, движущихся в направлении, перпендикулярном пучку.

Два пучка частиц, движущихся с одинаковой по модулю скоростью \(v\), пересекаются под углом \(\alpha\). Соударения частиц происходят в ограниченной области. Перейдём к системе отсчёта, где скорости частиц равны по модулю и противоположны по направлению. Казалось бы, теперь область пересечения — весь объём пучков, и поэтому число соударений в единицу времени должно быть больше. Объясните получившееся противоречие.

Идёт отвесный дождь. Скорость капель \(u\). По асфальту со скоростью \(v\) скользит мяч. Во сколько раз за один и тот же промежуток времени на него попадает больше капель, чем на такой же, но неподвижный мяч? Изменится ли ответ, если мяч не круглый?

Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесёт, если ширина реки 200 м?

Школьник Петя стоит около задней стены последнего вагона поезда, движущегося с постоянной скоростью, и видит через окна поезда столбы линии электропередач, расположенные вдоль железной дороги на равных расстояниях друг от друга. Когда Петя поравнялся с одним из столбов, он начал считать столбы (приняв этот столб за первый) и одновременно идти со скоростью 1,5 м/с относительно поезда от хвоста к голове поезда. В момент, когда Петя поравнялся со столбом номер 17, пройденный им путь (относительно поезда) был равен 150 м. Петя тотчас развернулся и пошёл обратно с той же скоростью, и в момент возвращения в начало своего пути поравнялся с очередным столбом, номер которого по счёту Пети был равен 30. С какой скоростью едет поезд, и чему равно расстояние между соседними столбами? Известно, что скорость поезда относительно земли больше скорости Пети относительно поезда.

Круизные лайнеры «Первый» и «Второй» плывут равномерно и прямолинейно. Угол между их курсами равен \(\alpha = 60^\circ\), скорость «Первого» \(v_1 = 35\) км/ч, скорость «Второго» \(v_2 = 31{,}6\) км/ч. С лайнера «Первый» с временным интервалом в несколько часов отплывают два катера, которые, двигаясь с постоянной одинаковой скоростью, перпендикулярной курсу «Первого», точно приплывают ко «Второму». Определите скорость \(u\) катера.

Карусель представляет собой пять круговых дорожек (см. рисунок). Внешняя дорожка (№ 1) всегда неподвижна; следующая (№ 2) может двигаться со скоростью 4,5 км/ч. Скорость движения полотна у дорожки № 3 в 2 раза больше, чем у второй. Скорость движения дорожки № 4 равна разности скоростей движения дорожек № 5 и № 2. Скорость движения пятой дорожки, радиус которой равен \(R_5 = 20\) м, в 2 раза больше, чем у третьей. Ширина каждой дорожки равна \(r = 1\) м. Вначале все дорожки неподвижны.

С линии \(AO\) в одном направлении стартуют двое одноклассников "— отличник Вася по неподвижной дорожке № 1 на велосипеде и красавица Маша по соседней дорожке № 2 "— бегом. В момент их старта дорожки начинают двигаться, также вращаясь в одном направлении "— каждая со своей скоростью. Маша начинает двигаться в направлении движения дорожек с постоянной скоростью \(V_1 = 1{,}25\) м/с относительно полотна своей дорожки. Через некоторое время она перепрыгивает на соседнюю дорожку, причем скорость ее движения относительно полотна новой дорожки остается прежней. Так, последовательно перепрыгивая с дорожки на дорожку и находясь на каждой из них столько времени, сколько требуется, чтобы преодолеть одинаковые угловые расстояния, она добирается сначала до внутренней дорожки № 5, а потом возвращается на дорожку № 2.

С какой постоянной скоростью двигался Вася на велосипеде, если известно, что к линии старта/финиша они добрались одновременно, сделав один оборот вокруг центра карусели? Считать, что одноклассники все время перемещались точно по средним линиям дорожек.

Школьницы Алиса и Василиса участвуют в соревнованиях по бегу.

В первом состязании Алиса и Василиса стартовали одновременно в одном направлении. Василиса отстала от Алисы сразу после старта. Пробегая 2-й круг, Василиса заметила, что Алиса впервые после старта обогнала ее.

Во втором состязании Алиса и Василиса бежали эстафету: 2 круга бежала Алиса и 2 круга — Василиса. Девочки очень обрадовались, что обогнали своего одноклассника Петра, бежавшего всю дистанцию эстафеты без напарника с постоянной скоростью 12 км/ч: во время финиша Василисы Петр все еще бежал последний круг.

При решении задачи скорость каждой из школьниц можно считать постоянной.

1. (3 балла) Найдите минимально возможную скорость Алисы при данных условиях. Ответ представьте в км/ч и округлите до второй значащей цифры.

2. (2 балла) Найдите максимально возможную скорость Алисы при данных условиях. Ответ представьте в км/ч и округлите до второй значащей цифры.

3. (3 балла) Найдите минимально возможную скорость Василисы при данных условиях. Ответ представьте в км/ч и округлите до второй значащей цифры.

4. (2 балла) Найдите максимально возможную скорость Василисы при данных условиях. Ответ представьте в км/ч и округлите до второй значащей цифры.

Две самоходные баржи равномерно движутся по озеру во взаимно перпендикулярных направлениях. Скорость одной баржи \(V_1 = 3\) м/с, а другой \(V_2 = 4\) м/с. На каждой барже установлен анемометр "— прибор для измерения модуля скорости ветра. В течение некоторого времени на каждом из кораблей каждую минуту снимают показания анемометров. По результатам измерений обнаружилось, что значения скорости ветра, полученные на первой барже, не превышали скорости баржи \(V_1\), а на второй "— не превышали \(V_2\). Какого максимального значения могла достигать скорость ветра относительно озера во время измерений? Какой угол \(\alpha\) составляла скорость первой баржи \(\vec V_1\) с направлением ветра в момент, когда скорость ветра относительно озера была максимальной?

Регби "— это командная игра с мячом. Цель игры "— принести мяч в зачётное поле соперника, расположенное за линией ворот. Игрок с мячом может отдать передачу другому игроку своей команды, причём передачу нельзя делать вперёд (только вбок или назад). Игроки команды соперника имеют право остановить игрока с мячом. На рисунке представлен фрагмент поля с тремя регбистами: \(A\) и \(B\) "— игроки из одной команды, \(C\) "— игрок команды соперника. Игрок \(C\) вот-вот остановит игрока \(A\), поэтому тот делает передачу игроку \(B\). Чтобы сделать точную передачу, игрок \(A\) предварительно притормозил, и в момент броска его скорость направлена в сторону линии ворот и равна \(v = 2\) м/с.

Пусть скорость игрока \(B\) равна 8 м/с при движении по любой траектории. Расположение игроков \(A\), \(B\) и \(C\) на поле, показанное на рисунке, соответствует моменту броска.

1. С какой минимальной скоростью (относительно себя) должен бросить мяч игрок \(A\), чтобы игрок \(B\) принял передачу и добежал до зачётного поля соперника за минимальное время?

2. Пусть игрок \(A\) бросил мяч с относительной скоростью 6 м/с. Докажите, что минимальное время \(t_{\min}\), за которое игрок \(B\) может добежать до зачётного поля соперника, поймав мяч в процессе движения, достигается, если после броска игрока \(A\) мяч летит параллельно линии ворот.

3. Найдите время \(t_{\min}\). Утверждением из п. 2) можно пользоваться без доказательства.

Три маленьких тела изначально покоятся в трёх равноудаленных точках, принадлежащих окружности длиной 3 метра (см. рисунок).

В некоторый момент они одновременно начинают движение в одном направлении по окружности с постоянными скоростями: \(v_1 = 4{,}0\) м/с, \(v_2 = 3{,}6\) м/с, \(v_3 = 3{,}0\) м/с (индекс в обозначении скорости соответствует номеру тела на рисунке). При этом тела не сталкиваются, проходя мимо друг друга. Колонной называется наименьшая дуга окружности, содержащая три тела. Например, в начальном положении длина колонны равна 2 метра. Найдите минимальную длину колонны в процессе движения тел.

Три маленьких тела изначально покоятся в трёх равноудаленных точках, принадлежащих окружности длиной 3 метра (см. рисунок).

В некоторый момент они одновременно начинают движение в одном направлении по окружности с постоянными скоростями, равными \(v_1 = 4{,}0\) м/с, \(v_2 = 3{,}6\) м/с, \(v_3 = 3{,}0\) м/с (индекс в обозначении скорости соответствует номеру тела на рисунке). При этом тела не сталкиваются, проходя мимо друг друга. Колонной называется наименьшая дуга окружности, содержащая все три тела. Например, в начальном положении длина колонны равна 2 метра. Найдите минимальную длину колонны в процессе движения тел.

Две пристани расположены на противоположных берегах реки шириной 100 м напротив друг друга в точках \(A\) и \(B\). Скорость течения реки равна 1 м/с. На том же берегу, где находится пристань \(B\), ниже по течению расположена пристань \(C\). От пристани \(A\) отплывает вёсельная лодка, которая держит курс под углом \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 3/5\)) к направлению скорости течения реки. Скорость лодки относительно воды всё время остаётся постоянной по модулю и направлению. Одновременно с лодкой от пристани \(B\) в сторону пристани \(C\) выезжает велосипедист и движется с постоянной скоростью. Доехав до пристани \(C\), он быстро разворачивается на \(180^\circ\) и с прежней скоростью едет обратно в направлении пристани \(B\).

На рис. 1 показана (в неизвестном масштабе) траектория \(KLMN\) лодки в системе отсчёта велосипедиста от момента старта (точка \(K\)) до момента причаливания к противоположному берегу (точка \(N\)). Оси используемой системы координат жёстко связаны с рамой велосипеда (на рисунке не показаны). Разворот велосипедиста на \(180^\circ\) считается мгновенным.

1. Определите скорость велосипедиста, скорость лодки относительно воды и расстояние между пристанями \(B\) и \(C\).

Школьницы Алиса и Василиса участвуют в лыжных гонках. Сразу после старта лыжницам пришлось подниматься в горку. Алиса, скорость которой на подъеме составляла 8 км/ч, отстала от Василисы, поднимавшейся со скоростью 12 км/ч. Спустя километр подъем закончился, и Алиса со скоростью 20 км/ч устремилась в погоню за Василисой, двигавшейся со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние надо будет пройти Алисе по горизонтальной лыжной трассе, чтобы догнать Василису?

По трассе едут две гоночные машины, первая со скоростью 250 км/ч, вторая со скоростью 300 км/ч. В некоторый момент времени вторая машина отставала от первой на 5 км.

1. Через сколько времени вторая машина опередит первую машину на 5 км? Ответ укажите в мин и округлите до целого.

2. Какой путь пройдёт за это время первая машина? Ответ укажите в км и округлите до целого.

В 12:00 из города A в город B выехал грузовой автомобиль, двигаясь со средней скоростью 75 км/ч. Легковой автомобиль, стартовав в 12:10 в городе B, отправился в город А со средней скоростью 80 км/ч. Машины встретились в 13:16.

1. Найдите расстояние между городами А и В, если их соединяет прямая дорога. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

2. В 12:20 из города А в город В выехал мотоциклист. Средняя скорость его движения 90 км/ч. На каком расстоянии от города B встретились мотоциклист и грузовой автомобиль? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

3. В какой момент времени встретились мотоциклист и легковой автомобиль? В качестве ответа запишите отдельно два числа — число часов (от 0 до 23) и целое число минут (от 0 до 59).

По двору бежит мышь. Кошка кинулась навстречу мыши. Кошке нужно пробежать до того места, куда, по ее предположению, прибежит мышь, 9 метров. Однако через 1 секунду мышь юркнула в норку в земле. На каком расстоянии от кошки мышь исчезла из ее поля зрения? Скорость мыши 1 м/с, скорость кошки 3 м/с. Ответ выразите в метрах и округлите до целых.

Почтальон Печкин выехал из райцентра Сметанино в деревню Простоквашино с посылкой для кота Матроскина. Он ехал со скоростью 15 км в час, а расстояние, которое ему надо было проехать, составляет 15 км. Приехав в Простоквашино, он обнаружил, что по дороге потерял посылку, и сразу же поехал за ней обратно. Когда он нашел посылку, то подобрал ее и снова поехал к коту. Тем временем кот Матроскин, который хотел как можно быстрее получить посылку, сразу после выезда Печкина из Простоквашино побежал за почтальоном со скоростью 5 км в час, и получил посылку через полчаса из рук Печкина, который уже снова ехал в Простоквашино. На каком расстоянии от Сметанино Печкин потерял посылку?

Алиса и Василиса вместе в 12.00 вышли из города на дорогу. Сев на велосипед, Алиса в 13.00 доехала до деревни и сразу повернула обратно. Василиса, шедшая по этой же дороге пешком со скоростью 6 км/ч, встретила возвращающуюся Алису в 13.36. Найдите скорость Алисы при перемещении на велосипеде, считая эту скорость постоянной. Ответ выразите в км/ч.

Теннисный мяч летит со скоростью 180 км/ч, отражается от стенки и прилетает к теннисисту, который побежал за ним сразу после удара. Каково было начальное расстояние между теннисистом и стенкой, если второй раз теннисист ударил по мячу через 0,4 с, пробежав 2 метра? Ответ дайте в метрах.

На учениях самолет и вертолет одновременно вылетают с военного аэродрома в сторону одной и той же цели, расстояние до которой \(L = 120\) км и летят вдоль одной прямой. Самолет, быстро выполнив задание, возвращается по прежнему пути назад, и встречает вертолет в момент, когда тот пролетел лишь некоторую часть расстояния до цели. На каком расстоянии от аэродрома встретились самолет и вертолет, если вертолет летел в \(n = 5\) раз медленнее самолета? Временем, которое самолёт затрачивает на разворот, можно пренебречь.

Тачки Молния Маккуин и Чико в очередной раз соревнуются на дистанции. В итоге, после напряжённой борьбы, Молния Маккуин оказался на финише через 50 минут после старта, опередив Чико. На рисунке представлен график, на котором показана разность расстояний \(\Delta S\), которые преодолели тачки к моменту времени \(t\).

1. Сколько раз за гоночный заезд обгонял Чико своего соперника?

2. На сколько различаются средние скорости движения тачек за 50 мин?

3. С какой скоростью ехал Молния Маккуин в течение первых 10 минут, если Чико в это же время ехал со скоростью 160 км/ч?

Тачки Молния Маккуин и Чико в очередной раз соревнуются на дистанции, стартовав одновременно с одной линии. В итоге, после напряжённой борьбы, Молния Маккуин оказался на финише через 50 минут после старта, опередив Чико. На рисунке представлен график зависимости разности скоростей \(\Delta V\) тачек от времени \(t\).

1. Сколько раз за гоночный заезд Чико обгонял своего соперника? В какие моменты это происходило?

2. На сколько различаются средние скорости движения тачек за 50 мин?

3. Какой путь проехал Молния Маккуин за первые 10 минут гонки, если Чико всё это время ехал со скоростью 160 км/ч?

Два бегуна начинают бежать одновременно с одного и того же места на беговой дорожке стадиона, длина которой 400 м. Если бы они начали бег в одном направлении, то они встретились бы через 200 с. Если же они побежали бы в разных направлениях, то встретились через 80 с. Можно считать, что бегуны всё время бежали с постоянными скоростями.

1. Найдите скорость «быстрого» бегуна. Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.

2. Найдите скорость «медленного» бегуна. Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.

По шоссе движутся в противоположных направлениях с постоянной скоростью автомобиль и велосипедист. Автомобиль движется со скоростью 25 м/с, велосипедист со скоростью 10 м/с. В некоторый момент автомобиль проезжает через мост, одной минутой позже через другой мост проезжает велосипедист. Автомобиль встречается с велосипедистом на расстоянии 3 км от пройденного велосипедистом моста. На каком расстоянии друг от друга расположены мосты? Длинами мостов можно пренебречь. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Пассажир в аэропорту случайно поставил свою сумку на движущуюся дорожку. Когда он это заметил, сумка была уже от него на расстоянии 20 м, двигаясь при этом с постоянной скоростью 1 м/с. Пассажир начинает бежать вдогонку сумке с постоянным ускорением 1 м/с\(^2\).

1. Сколько времени пассажир догонял сумку? Ответ выразите в с, округлите до десятых.

2. Какой путь пробежал пассажир, чтобы догнать сумку? Ответ выразите в м, округлите до целого числа.

Из пункта \(A\) почтальон Печкин выехал на велосипеде в 12:00, направляясь в пункт \(Б\). Одновременно с ним из пункта \(Б\) выехал на самокате дядя Фёдор, направляясь в пункт \(A\). Впоследствии почтальон Печкин рассказывал, что в 12:30 встретил дядю Фёдора. Дядя Фёдор же вспоминал, что прибыл в пункт \(A\) в 13:15. Что показывали часы почтальона Печкина, когда он добрался до пункта \(Б\)? Считайте, что почтальон Печкин и дядя Фёдор двигались с постоянными скоростями? В качестве ответа запишите отдельно два числа "— число часов (от 0 до 23) и целое число минут (от 0 до 59).

Максим и Аня стоят на противоположных берегах реки, ширина которой равна 60 м. Аня начинает идти вдоль берега вниз по течению со скоростью равной скорости течения реки 1 м/с. Максим начинает плыть через реку на противоположный берег вдоль прямой линии с постоянной скоростью. Как только Максим добирается до противоположного берега, он оказывается рядом с Аней, которая прошла расстояние 120 м. Аня в процессе движения не останавливалась.

1. Найдите время движения Ани. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

2. Чему равно расстояние между Аней и Максимом в тот момент, когда Аня прошла 60 м? Ответ выразите в м, округлите до целого числа.

3. С какой скоростью плыл бы Максим в стоячей воде? Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.

По реке, стартовав в одном пункте, по течению плывут плот и лодка. Лодка доплывает до пристани и, возвращаясь, встречает плот. Пристань находится на 6 км ниже по течению от места старта лодки и плота. Скорость лодки в стоячей воде в 2 раза больше скорости движения плота по реке. На каком расстоянии от пристани встретятся плот и лодка? Ответ дайте в километрах.

Пешеход идет со скоростью 2 м/с между лампой, лежащей на Земле, и вертикальной стеной. Траектория пешехода параллельна стене. Наименьшее расстояние от пешехода до лампы равно расстоянию от пешехода до стены. С какой скоростью движется в этот момент по стене тень от пешехода? Ответ выразите в м/с.

Венера совершает полный оборот вокруг Солнца за \(0{,}615\) земных лет. Через какой промежуток времени Венера оказывается на одной прямой с Землёй и Солнцем между Землёй и Солнцем? Ответ выразите в годах и округлите до десятых.

Спутник Марса Фобос совершает полный оборот вокруг Марса за \(7{,}65\text{ ч}\), а время полного оборота Марса вокруг своей оси равно \(24{,}62\text{ ч}\). Вращение Фобоса вокруг Марса и Марса вокруг своей оси осуществляется в одном направлении. Через какой промежуток времени для находящегося на экваторе Марса космонавта повторялся бы восход Фобоса? Ответ представьте в часах и округлите до целых.

Спутник Марса Деймос совершает полный оборот вокруг Марса за 30,29 ч, а время полного оборота Марса вокруг своей оси равно 24,62 ч. Вращение Деймоса вокруг Марса и Марса вокруг своей оси осуществляется в одном направлении. Через какой промежуток времени для находящегося на экваторе Марса космонавта повторялся бы восход Деймоса? Ответ представьте в часах и округлите до второй значащей цифры.

Тренер проводит занятия по физкультуре необычным способом. Сам он начинает идти по кругу стадиона с постоянной скоростью \(u = 1\) м/с. За тренером в тот же момент по кругу стадиона начинает бежать его ученик, который все время движется с постоянной скоростью \(V = 3\) м/с. Когда он достигает тренера, ученик быстро разворачивается, возвращается обратно, добирается до старта, снова быстро разворачивается, опять бежит до тренера, и далее повторяет эти действия нужное число раз. В конечном итоге тренер и ученик пришли к финишу одновременно, причем тренер прошел менее одного круга.

1. Какой путь \(S_1\) пробежал ученик к моменту первой встречи с тренером?

2. Какой путь \(S\) пробежал ученик до момента финиша?

Турист переходил узкий железнодорожный мост в направлении от точки \(A\) к точке \(B\) (см. рисунок). Находясь на расстоянии \(d = 50\) м от середины моста, ближе к точке \(B\), он увидел поезд, движущийся ему навстречу со скоростью \(V = 54\) км/ч, который в этот момент находился на расстоянии \(S = 300\) м от туриста. Турист побежал вперёд, навстречу поезду, с постоянной скоростью \(v = 5\) м/с, и успел достигнуть точки \(B\) в момент, когда поезд находился на расстоянии \(h = 60\) м от этой точки.

Успел бы турист добежать до точки \(A\), если бы он, увидев поезд, мгновенно развернулся и побежал с такой же скоростью назад? Если да, то на каком расстоянии от точки \(A\) находился бы поезд в момент, когда турист достиг бы этой точки? Если нет, то на каком расстоянии от точки \(A\) поезд мог бы догнать его? Скорость поезда постоянна.

Две группы туристов одновременно вышли из турбазы в двух противоположных направлениях. Группы поддерживают между собой связь по рации, радиус действия которой равен \(R = 10\) км. Первая группа, пройдя путь \(S_1 = 2\) км по лесу, вышла из леса и увеличила свою скорость на \(\Delta v = 1{,}5\) км/ч, и спустя \(t_1 = 40\) минут после этого связь по рации прервалась. Вторая группа после \(t_2 = 30\) минут ходьбы уменьшила свою скорость в \(n = 1{,}2\) раза, и после того, как она прошла ещё \(S_2 = 3\) км, связь по рации прервалась. Найдите скорости каждой группы сразу после выхода из турбазы. Туристы движутся всё время по одной прямой, не меняя направления своего движения. Ответы дайте в численном виде, округлив до десятых долей км/ч.

В цилиндрическую трубу постоянного сечения, частично заполненную толстым слоем орехов, снизу поступает вода со скоростью \(w = 0{,}5\) см/с. Орехи при этом всплывают как единое целое со скоростью \(u = 0{,}2\) см/с (скорости \(w\) и \(u\) отличаются потому, что между стенками трубы и орехами есть трение). Объём одного ореха \(\Omega = 25\) см\(^3\), в одном литре их содержится \(n = 30\) штук. Найдите скорость \(V\) подъёма уровня воды внутри слоя орехов (то есть границы между сухими и мокрыми орехами). Ниже уровня воды зазоры между орехами полностью заполнены водой, а выше этого уровня "— воздухом.

Из деревень Абаканово и Юдино, находящихся на расстоянии 3 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Первый движется со скоростью 13 м/с, а второй – со скоростью 7 м/с. С момента, когда они встретились, первый поехал со скоростью 7 м/с, а второй – со скоростью 13 м/с (в тех же направлениях). Какое время, считая от момента встречи, понадобится первому велосипедисту, чтобы приехать в Юдино, а второму – в Абаканово?

Автомобиль и трактор едут в противоположных направлениях по прямой дороге. Автомобиль движется со скоростью 25 м/с, трактор со скоростью 36 км/ч. В какой-то момент автомобиль проезжает мимо автозаправки. Ровно через минуту трактор проехал мимо магазина. Машины встретились на расстоянии 3 км от магазина, мимо которого проезжал ранее трактор. На каком расстоянии друг от друга расположены магазин и автозаправка? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Автобусы специального городского маршрута, приезжая на конечную остановку, ожидают одну минуту, после чего едут в обратном направлении. Известно, что от конечной остановки автобусы отправляются каждые 10 минут. Ровно в тот момент, когда школьник подбежал к конечной остановке, двери автобуса закрылись, и он уехал. Мальчик решил пойти пешком до следующей остановки. Он шёл со скоростью 5 км/ч, и в середине пути между остановками мимо него проехал следующий автобус, следуя к конечной остановке. Увеличив скорость до 10 км/ч, школьник успел добежать до остановки и сразу сел в этот автобус. Найдите расстояние между остановками. Считайте, что все автобусы движутся с одинаковой постоянной скоростью. Ответ выразите в км, округлите до сотых.

Две лодки одновременно стартуют из одной точки на берегу реки в противоположных направлениях: одна плывёт по течению, а другая — против течения. Скорости лодок в стоячей воде одинаковы и равны 5 м/с, а скорость течения реки равна 2 м/с. Каждая из лодок в какой-то момент разворачивается и плывёт обратно. Известно, что в точку старта лодки прибывают одновременно через 30 минут после начала движения. Чему равно максимальное расстояние, на которое лодки удаляются друг от друга в процессе движения? Считайте, что траектории лодок лежат на одной прямой, размерами лодок можно пренебречь. Ответ выразите в метрах, округлите до целого числа.

Утром автомобиль выехал из пункта \(A\) в пункт \(B\) со скоростью 54 км/ч. Через 26 минут из пункта \(B\) в \(A\) выехал мотоциклист со скоростью 63 км/ч. В 11.00 они встретились и после этого одновременно прибыли в пункты назначения.

1. (4 балла) В какое время выехал мотоциклист? В качестве ответа запишите отдельно два числа — число часов (от 0 до 23) и целое число минут (от 0 до 59).

2. (2 балла) Чему равно расстояние между пунктами \(A\) и \(B\)? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Подходящий к станции поезд движется со скоростью \(V = 36\) км/ч. Один из пассажиров поставил чемодан на пол длинного коридора вагона. Но тут поезд начал тормозить, двигаясь до полной остановки равнозамедленно с ускорением, равным по модулю \(a = 2\) м/с\(^2\). Чемодан при этом стал скользить по полу и прошёл до своей полной остановки путь \(S = 12\) м относительно вагона. Определите коэффициент трения между чемоданом и полом, а также модуль максимальной скорости, которую имел чемодан относительно вагона.

По спокойной поверхности озера плывёт маленький катер, траектория которого параллельна прямой линии берега и лежит от него на расстоянии \(L\). Стоящий в точке \(A\) наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки \(A\) спустя время \(t\) после того, как катер пересёк прямую \(AB\), перпендикулярную берегу (см. рис). После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом \(T\). Расстояние между соседними гребнями волн равно \(\lambda\). Найдите скорость катера.

Три пловца разной квалификации решили посоревноваться на дистанции 100 метров в пятидесятиметровом бассейне. Стартовали пловцы одновременно, и каждый проплывал дистанцию со своей постоянной скоростью. Обозначим через \(d_{12}(t)\) расстояние между первым и вторым пловцами, а через \(d_{13}(t)\) – расстояние между первым и третьим пловцами в момент времени \(t\). На рисунке сплошной линией изображен график зависимости \(d_{13}(t)\) для части заплыва – от старта до момента времени \(t_2\). График зависимости \(d_{12}(t)\) изображен пунктиром. Численное значение величины \(d_0\) неизвестно, но зато известно, что \(t_1 = 30\) с и \(t_2 = 40\) с. При определении расстояния между пловцами ширина дорожек бассейна не учитывалась, считалось, что спортсмены движутся почти вдоль одной прямой. Разворот каждого из пловцов происходит очень быстро.

1. Какое время на финише показал каждый из пловцов?

2. Продолжите (достройте) оба графика до момента времени 60 с.

Расстояние между Кузнецком и Никольским составляет 100 км. В один и тот же момент времени из Кузнецка в Никольское и из Никольского в Кузнецк начинают ехать два велосипедиста. Велосипедист, выехавший из Кузнецка, ехал всю дорогу с постоянной скоростью \(v\). Выехавший из Никольского велосипедист ехал сперва со скоростью 36 км/ч, а после встречи с велосипедистом из Кузнецка поехал дальше со скоростью 25 км/ч. В Кузнецк и Никольское оба велосипедиста приехали одновременно. На каком расстоянии от Кузнецка они встретились? Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

Прямоугольный ящик размером \(1\text{ м}\times 2\text{ м}\), движется по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью \(v = 1\) м/с, направленной вдоль одной из сторон (на рис. ниже показан вид сверху). Маленькая шайба, движущаяся в начальный момент со скоростью \(u = 1\) м/с относительно земли, находится в этот момент вблизи середины короткого борта ящика. Скорость шайбы \(u\) направлена перпендикулярно борту. Столкновения шайбы с бортами ящика можно считать абсолютно упругими. Трение между шайбой и дном ящика отсутствует. Толщиной бортов ящика можно пренебречь. Ответы на вопросы задачи дайте в метрах, округлите до целого.

1. Найдите абсолютную величину перемещения шайбы относительно ящика за первые 10 секунд после начала движения.

2. Какой путь пройдёт шайба относительно земли за первые 10 секунд после начала движения?

В 10:00 от пристани A вниз по течению реки к пристани В отправляются катер и моторная лодка. Скорости относительно воды катера и лодки равны 45 км/ч и 30 км/ч соответственно. На половине пути водитель катера заглушил мотор и 50 мин дрейфовал вниз по течению, не причаливая к берегу. После этого он завёл мотор и продолжил движение с прежней скоростью в направлении пристани B. В результате к этой пристани катер и лодка прибыли одновременно.

1. Найдите максимальное расстояние между катером и лодкой во время движения, если скорость течения равна 5 км/ч. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

2. В какое время катер и лодка подплыли к пристани В?

По игрушечной двухколейной железной дороге в виде кольца длиной 144 м ездят специальные маленькие электровозы. Каждый электровоз запрограммирован так, что сначала он движется из положения покоя в течение времени \(t\) с постоянным ускорением \(a\), затем его ускорение становится равно нулю и он едет такое же время \(t\) с постоянной скоростью, в конце электровоз тормозит с тем же по модулю ускорением \(a\), что на этапе разгона, оказываясь в начальной точке с нулевой скоростью, после чего цикл повторяется.

Два электровоза начинают движение по соседним путям в разные стороны, при этом второй стартует через время \(\dfrac{t}{3}\) после первого. Ответы на вопросы задачи дайте в метрах, при необходимости округлите до целого числа.

1. (3 балла) Чему равно наименьшее значение длины дуги кольца \(L_1\) между начальной точкой и той точкой, где происходит первая встреча электровозов?

2. (4 балла) Найдите наименьшую длину дуги кольца \(L_2\) между начальной точкой и той точкой, где происходит вторая встреча электровозов.

В каждом пункте в ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами. Считайте размеры электровозов, а также различия в длинах путей, проходимых каждым из них, пренебрежимо малыми по сравнению с длиной кольца.

Тонкая, но жёсткая доска движется горизонтально, по доске без проскальзывания катится тонкий обруч (см. рисунок). Скорость доски в лабораторной системе отсчёта \(u\) равна 1 м/с, скорость оси обруча относительно доски \(v\) равна 2 м/с. Векторы этих скоростей противоположно направлены, движение можно считать плоским.

1. Найдите минимальное и максимальное значения модуля скорости точки обруча в лабораторной системе отсчёта. Получите значения искомых величин в м/с, округлите до целых. В качестве ответа приведите строку, в которой полученные числа будут записаны друг за другом (без нулей и запятых), сначала минимальное, затем максимальное.

2. Найдите скорость точки обруча, лежащей на горизонтальном диаметре, в лабораторной системе отсчёта. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

3. Определите в лабораторной системе отсчёта значение скорости той точки обруча, вектор скорости которой направлен вертикально (в той же лабораторной системе отсчёта). Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

Ровно в полдень от пристани \(A\) к пристани \(B\) вниз по течению реки отправились катер и моторная лодка. Скорости катера и лодки относительно воды равны \(v_1 = 40\) км/ч и \(v_2 = 25\) км/ч соответственно. Скорость течения реки \(u = 5\) км/ч. Когда катер прошёл треть всего пути, на реку опустился густой туман, вследствие чего капитан катера решил не рисковать и заглушил мотор. Катер продолжил свой путь, дрейфуя по течению и не причаливая к берегу. Дрейф в тумане продолжался 30 минут, пока туман не рассеялся. После этого катер, не изменяя направление движения, продолжил свой путь с первоначальной скоростью относительно воды. Всё это время моторист продолжал вести лодку на свой страх и риск, не сбавляя скорости. К пристани \(B\) катер и лодка причалили одновременно.

1. В какое время катер и лодка подплыли к пристани \(B\)?

2. Какое максимальное расстояние (по реке) было между катером и лодкой в процессе движения?

Из специального аппарата, находящегося на большой высоте над Землёй, одновременно вылетают три одинаковых маленьких шарика \(A\), \(B\) и \(C\) с одинаковой по модулю начальной скоростью \(v_0\). Векторы начальных скоростей шариков лежат в одной вертикальной плоскости, при этом вектор начальной скорости шарика \(A\), \(\vec v_{A0}\), направлен вертикально вверх; вектор \(\vec v_{B0}\) образует угол \(60^\circ\) с \(\vec v_{A0}\); вектор \(\vec v_{C0}\) направлен противоположно \(\vec v_{B0}\). Через время \(\tau = 1\) с после вылета расстояние между шариками \(A\) и \(B\) стало равно \(S_{AB} = 5\) м. Сопротивлением воздуха, а также зависимостью ускорения свободного падения \(g\) от высоты можно пренебречь. Найдите следующие величины.

1. Модуль начальной скорости \(v_0\). Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

2. Расстояние \(S_{AC}\) между шариками \(A\) и \(C\), а также расстояние \(S_{BC}\) между шариками \(B\) и \(C\) в момент времени \(\tau\). Ответы дайте в метрах, округлите до десятых.

3. Модули скоростей шариков в момент времени \(\tau\). Ответы дайте в м/с, округлите до десятых.

С какой скоростью растет «хвост» автомобильной пробки, образовавшейся из-за резкого снижения скорости на некотором участке дороги? До пробки автомобили движутся однородным потоком со скоростью 50 км/ч со средней плотностью 20 автомобилей на 1 км пути. В пробке скорость автомобилей снижается до 5 км/ч, и движутся они почти вплотную друг к другу со средней плотностью 125 автомобилей на 1 км пути.

Вдоль направления течения прямой реки по спокойной воде плывёт маленький катер, траектория которого параллельна берегу и лежит на расстоянии \(L\) от него. Скорость течения реки равна \(V\). Стоящий на берегу в точке \(A\) наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки \(A\) спустя время \(t\) после того, как катер пересёк прямую \(AB\), перпендикулярную берегу (см. рис.). После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом \(T\). Расстояние между соседними гребнями волн равно \(\lambda\). Найдите скорость катера относительно воды, считая, что волны, возбуждаемые катером на поверхности воды, близки к гармоническим.

Пристань \(B\) расположена ниже пристани \(A\) по течению реки. Между \(A\) и \(B\) курсируют лодка и катер. Лодка стартует из \(A\) одновременно с катером, стартующим из \(B\). Когда лодка подходит к пристани \(B\), она разворачивается, затрачивая на разворот пренебрежимо малое время, и идёт обратно, затем доходит до пристани \(A\), разворачивается, и так далее. Катер движется аналогичным образом.

Первая встреча катера и лодки произошла через 1 час после начала движения. Когда катер после первой встречи подошёл к пристани \(A\), лодка прошла \(3/5\) расстояния между \(A\) и \(B\). Вторая встреча катера и лодки произошла у пристани \(B\), куда они прибыли одновременно.

1. Через какое время после начала движения катер подошёл к пристани \(A\)?

2. Определите, через какое время после первой встречи произошла вторая встреча?

3. Через какое время после второй встречи произойдёт третья встреча?

Динамика буера (ледовой яхты, рис. 5) может быть описана на основе модели, в которой парус считается вертикально расположенным крылом. Силу \(\vec F\), действующую на парус со стороны воздуха (см. рис. 6, вид сверху), принято раскладывать на две составляющие: \(\vec D\), направленную вдоль скорости \(\vec w\) потока воздуха относительно буера, и \(\vec L\), перпендикулярную \(\vec D\). Можно считать, что \(D = C_D\dfrac{\rho w^2}{2}S\), \(L = C_L\dfrac{\rho w^2}{2}S\), где \(S\) — площадь паруса, \(\rho\) — плотность воздуха; безразмерные коэффициенты \(C_D\) и \(C_L\) зависят только от ориентации паруса относительно набегающего потока воздуха. Взаимодействие с горизонтальной поверхностью снега (или льда) характеризуется силами \(\vec T\) (трения) и горизонтальной реакции \(\vec N\). Далее везде трением мы пренебрегаем. Угол между скоростью буера \(\vec v\) и скоростью ветра относительно земли \(\vec u\) обозначим \(\theta\).

1. Пусть известно, что буер движется с постоянной скоростью. Отношение \(\dfrac{C_L}{C_D} = k\) задано. Кроме того даны скорость ветра \(u\) и угол \(\theta\). Определите скорость буера \(v\). Если параметр \(k\) и скорость ветра \(u\) остаются постоянными, а угол \(\theta\) может изменяться от \(0^\circ\) до \(90^\circ\), то чему равна максимально возможная скорость буера \(v\) в рамках данной модели?

2. На рис. 7 показана кривая, координаты точек которой равны значениям коэффициентов \(C_D\) и \(C_L\) для разных положений паруса относительно набегающего потока воздуха. Определите максимально возможное ускорение буера при старте из положения покоя. Скорость ветра \(u = 10\) м/с, масса буера и человека 100 кг, площадь паруса 7 м\(^2\), атмосферное давление нормальное, температура воздуха \(-10^\circ\) C.

3. Используя кривую, показанную на рис. 7, определите при каких значениях угла \(\theta\) возможно движение буера с постоянной скоростью.

В цирке Никулина представлен следующий номер. Два акробата находятся на противоположных концах штанги длиной 3 м, которая вращается вокруг своего центра в горизонтальной плоскости. Один из акробатов бросает кеглю массой 100 г с горизонтальной начальной скоростью в руки другого так, что штанга успевает за время полета кегли повернуться на четверть оборота. При этом перемещение кегли по вертикали оказывается равным 1 м. Найдите импульс силы, приложенной первым акробатом к кегле при броске. Считайте, что до броска кегля покоилась относительно рук акробата. Размерами кегли и сопротивлением воздуха пренебречь, вращение штанги считать равномерным. Ускорение свободного падения при расчетах примите равным 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в мН\(\cdot\)с, округлите до целого числа.

На крыло летательного аппарата со стороны натекающего на него потока воздуха, движущегося со скоростью \(v\) (относительно крыла), действуют силы, зависящие от скорости \(v\): подъёмная сила \(L(v)\), ортогональная скорости, и сила сопротивления \(D(v)\), сонаправленная скорости (см. рисунок). Отношение \(K(v) = L(v)/D(v)\) называется аэродинамическим качеством. В этой задаче рассматривается полёт планера (безмоторного летательного аппарата), для которого аэродинамическое качество можно считать постоянным, не зависящим от направления и величины скорости \(v\).

Известно, что в неподвижном (относительно земли) воздухе планер может лететь, снижаясь, с постоянной скоростью, так что уменьшение высоты будет составлять 20 метров на каждый километр перемещения по горизонтали (рис. ниже).

Тот же планер может лететь, не снижаясь, со скоростью \(w = 20\text{ м/с}\) относительно земли во встречном восходящем потоке воздуха, скорость которого относительно земли равна \(u = 5\text{ м/с}\) и направлена под малым углом \(\alpha\) к горизонтали (см. Указание). Найдите значение угла \(\alpha\).

Массивная плита располагается под углом \(\varphi = 30^\circ\) к горизонтали и движется вертикально вверх. Маленький шарик, летевший сначала горизонтально навстречу плите, после абсолютно упругого столкновения с ней движется в том же направлении, что и плита "— вертикально вверх. Силу тяжести можно не учитывать. Ответы на вопросы задачи дайте в м/c, округлите до целых.

1. Пусть скорость шарика до столкновения с плитой равна \(v = 1{,}7\) м/c. Чему равна скорость шарика \(w\) после столкновения?

2. Дана скорость плиты: \(u = 2{,}9\) м/c. Определите скорость шарика \(v\) до столкновения с плитой.

Внешняя шестерня планетарной передачи (см. приведённый ниже рисунок из «Википедии») называется коронной, внутренняя "— солнечной, жёсткое подвижное звено, на котором закреплены оси маленьких планетарных шестерёнок, называется водилом.

1. Если водило неподвижно, а солнечная шестерня вращается с частотой \(n\) оборотов в секунду, то с какой частотой вращается коронная шестерня?

2. Пусть солнечная и коронная шестерни вращаются в одну сторону, делая \(n\) и \(N\) оборотов в секунду соответственно. Чему равна частота вращения водила?

Две одинаковые массивные плиты, движущиеся в пустоте, в нулевой момент времени располагаются параллельно друг другу на расстоянии \(L = 20\) см. Скорости плит равны \(v_1 = 2022\) мм/с и \(v_2 = 1992\) мм/с и направлены перпендикулярно плитам в одну сторону (см. рисунок). В нулевой момент в пространстве между плитами покоится маленькая шайба. Столкновение шайбы с любой из плит можно считать абсолютно упругим: нормальная составляющая скорости шайбы относительно плиты в процессе столкновения меняет знак, а тангенциальная остаётся постоянной. Скорости плит при столкновениях не меняются. Гравитационным взаимодействием можно пренебречь.

1. (3 балла) Найдите скорость шайбы в момент времени \(t = 10^4\) c. Ответ выразите в мм/с, округлите до целого.

2. (3 балла) Сколько раз к моменту времени \(t = 10^4\) c шайба столкнётся с плитой, движущейся со скоростью \(v_1\)?

С катера, движущегося со скоростью \(v = 15\) м/c, исследуют морское дно при помощи эхолокатора, посылая ультразвуковые сигналы в направлении дна под углом \(\alpha\) к вертикали, и принимая отражённые сигналы. Ультразвуковые лучи отражаются от дна так же как световые от зеркала: угол падения равен углу отражения. Скорость \(c\) ультразвука в воде равна 1500 м/c и не зависит от скорости источника.

В ответе на вопрос любого пункта задачи следует указывать номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

1. (2 балла) Если плоскость дна горизонтальна (см. рисунок слева), то чему должно быть равно значение угла \(\alpha\) для того, чтобы отражённый дном ультразвуковой сигнал был принят на катере?

   

2. (4 балла) Найдите угол \(\alpha\) в случае, если глубина водоёма увеличивается в направлении скорости катера, так что плоскость дна составляет малый угол \(\gamma = 5^\circ\) с горизонталью (см. рисунок справа).

   

3. (1 балл) Каково значение частоты принимаемого сигнала относительно частоты излучаемого (меньше, равно, больше) в случае, описанном в пункте b) задачи?

   

На горизонтальной поверхности вплотную друг к другу расположены два небольших шарика 1 и 2. Им одновременно сообщили скорости во взаимно перпендикулярных направлениях, в результате чего шарики начали двигаться в одной вертикальной плоскости, не сталкиваясь. В момент, близкий к падению шарика 1, была сделана фотография, зафиксировавшая положения обоих шариков (см. рисунок). При этом ни один из них ещё не касался горизонтальной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\).

Фотография с положениями шариков приведена в заданном масштабе на отдельном листе. Все необходимые построения выполняйте прямо на ней.

1. Найдите время \(t\) полёта шарика 1, если известно, что оно является максимально возможным.

2. Какие скорости \(v_1\) и \(v_2\) сообщили шарикам 1 и 2 соответственно?

С наклонной поверхности клина с углом \(\alpha\) при основании, движущегося по горизонтальному столу с постоянной скоростью вдоль направления \(AB\), сталкивают небольшой груз массой \(m\) так, что в начальный момент его скорость \(V\) относительно клина направлена перпендикулярно \(AB\) вдоль наклонной поверхности (см. рисунок). Коэффициент трения между поверхностью клина и грузом равен \(\mu\) (\(\mu > \operatorname{tg}\alpha\)). Чему будет равна работа силы трения, с которой клин действует на груз, к моменту, когда проскальзывание груза по поверхности клина прекратится? По какой траектории движется груз, пока проскальзывание еще не прекратилось? Ответ на оба вопроса нужно дать относительно системы отсчета, связанной со столом. Влиянием воздуха можно пренебречь.