Льдинка под лампой

Тепло для плавления одно и то же во всех опытах; мощность теплообмена с воздухом постоянна, а мощность излучения лампы обратно пропорциональна \(H^2\).

1) \(t_3 = \dfrac{t_1t_2\left(H_2^2 - H_1^2\right)}{H_2^2t_1 - H_1^2t_2 + \dfrac{H_1^2H_2^2}{H_3^2}(t_2 - t_1)} = 28\) мин;  2) \(T = \dfrac{t_1t_2\left(H_2^2 - H_1^2\right)}{H_2^2t_1 - H_1^2t_2} = 70\) мин.

Чтобы расплавить кубик льда, к нему нужно подвести некоторое количество теплоты \(Q\). Температура льда и подставки в процессе плавления льда остаётся равной \(\tau_0 = 0^\circ\)C, поэтому мощность \(P_0\) теплообмена с окружающей средой постоянна. Мощность \(P\) излучения, поглощённого льдом и подставкой, обратно пропорциональна квадрату расстояния \(H\) до лампы, то есть \(P = k/H^2\), где \(k\) — некоторая константа.

Запишем законы сохранения энергии для каждого из четырёх опытов: \[\begin{cases} Q = \left(P_0 + \dfrac{k}{H_1^2}\right)\cdot t_1,\\[2mm] Q = \left(P_0 + \dfrac{k}{H_2^2}\right)\cdot t_2,\\[2mm] Q = \left(P_0 + \dfrac{k}{H_3^2}\right)\cdot t_3,\\[2mm] Q = P_0\cdot T. \end{cases} \tag{1}\] Для удобства преобразований поделим первые три уравнения на \(P_0\), раскроем скобки и воспользуемся заменами \[T = \dfrac{Q}{P_0},\qquad a = \dfrac{k}{P_0},\qquad x_1 = \dfrac{1}{H_1^2},\qquad x_2 = \dfrac{1}{H_2^2},\qquad x_3 = \dfrac{1}{H_3^2},\] после чего система (1) примет вид \[\begin{cases} T = t_1 + ax_1t_1,\\ T = t_2 + ax_2t_2,\\ T = t_3 + ax_3t_3. \end{cases} \tag{2}\] Решение системы (2) в новых обозначениях будет выглядеть менее громоздко: \[a = \dfrac{t_2 - t_1}{x_1t_1 - x_2t_2},\qquad T = \dfrac{t_1t_2(x_1 - x_2)}{x_1t_1 - x_2t_2},\qquad t_3 = \dfrac{t_1t_2(x_1 - x_2)}{x_1t_1 - x_2t_2 + x_3(t_2 - t_1)}.\] Выполнив обратную замену, получим окончательные ответы: \[t_3 = \dfrac{t_1t_2\left(H_2^2 - H_1^2\right)}{H_2^2t_1 - H_1^2t_2 + \dfrac{H_1^2H_2^2}{H_3^2}(t_2 - t_1)} = 28\text{ мин},\] \[T = \dfrac{t_1t_2\left(H_2^2 - H_1^2\right)}{H_2^2t_1 - H_1^2t_2} = 70\text{ мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.