Тепловое загрязнение Земли

Земля нагрета до установившейся температуры: сколько энергии приходит, столько и уходит излучением. Из «16 раз при удвоении температуры» найдите, как излучаемая мощность зависит от \(T\). Температуру Земли в условии нет: нужна оценка.

\(\Delta T\approx\dfrac{T\,\Delta P}{4P_0}\approx7{,}5\cdot10^{-3}\) К;  \(\Delta P_{\max}\approx\dfrac{4P_0\,\Delta T_{\max}}{T}\approx1{,}3\cdot10^{14}\) Вт (при \(T\approx300\) К).

Что происходит. Земля — равновесная система: приходящая мощность равна уходящей. Уходит энергия излучением с поверхности, и мощность излучения растёт с температурой. Земные источники добавляют к приходящей мощности \(P_0\) ещё \(\Delta P\), поэтому поверхность нагревается до новой температуры, при которой излучается на \(\Delta P\) больше. Главная идея: найти закон \(P_{\text{изл}}(T)\) из данных условия и записать баланс мощности до и после.

Обозначения. \(T\) — абсолютная температура поверхности Земли до учёта земных источников, \(T+\Delta T\) — после, \(P_{\text{изл}}\) — мощность излучения Земли в космос. Температура Земли в условии не задана, поэтому оцениваем её сами: \(T\approx300\) К (\(27\,^\circ\)С), это порядок средней температуры поверхности.

1. Закон излучения. При удвоении абсолютной температуры мощность возрастает в \(16=2^4\) раз. Зависимость степенная, \(P_{\text{изл}}\propto T^n\), и \(2^n=16\), откуда \(n=4\): \[P_{\text{изл}}=\gamma\,T^{4},\qquad\gamma=\text{const}.\]

2. Баланс мощности без земных источников. Температура установилась, значит энергия не накапливается, и (закон сохранения энергии для Земли за единицу времени) \[P_0=\gamma T^{4}.\]

3. Баланс с земными источниками. Теперь к Земле поступает \(P_0+\Delta P\), и после установления \[P_0+\Delta P=\gamma\,(T+\Delta T)^{4}.\] Делим на уравнение шага 2: \[1+\frac{\Delta P}{P_0}=\Bigl(1+\frac{\Delta T}{T}\Bigr)^{4}.\] Здесь \(\Delta P/P_0=10^{-4}\) и \(\Delta T/T\ll1\), поэтому \((1+x)^4\approx1+4x\) (разложение при \(x\ll1\)): \[\frac{\Delta P}{P_0}\approx4\,\frac{\Delta T}{T}\quad\Rightarrow\quad\Delta T\approx\frac{T\,\Delta P}{4P_0}.\]

Подставляем: \(\Delta T\approx\dfrac{300\cdot10^{13}}{4\cdot10^{17}}\ \text{К}=7{,}5\cdot10^{-3}\ \text{К}\).

4. Максимальная мощность. Допустимый перегрев \(\Delta T_{\max}=0{,}1\) К, а \(\Delta T_{\max}/T\approx3{,}3\cdot10^{-4}\ll1\), линеаризация остаётся верной. Из той же формулы \[\Delta P_{\max}=\frac{4P_0\,\Delta T_{\max}}{T}=\frac{4\cdot10^{17}\cdot0{,}1}{300}\ \text{Вт}\approx1{,}3\cdot10^{14}\ \text{Вт},\] то есть примерно в 13 раз больше нынешней.

Обратите внимание: в закон \(T^4\) подставляется только абсолютная температура. С \(27\) вместо \(300\) К получились бы нелепые \(\Delta T\approx0{,}07\) К и \(\Delta P_{\max}\approx1{,}5\cdot10^{15}\) Вт.

Проверка. Размерность: \(\Delta T=T\cdot\Delta P/P_0\) — кельвины. Второй способ — точная формула без линеаризации: \(\Delta T=T\bigl[(1+10^{-4})^{1/4}-1\bigr]=7{,}4996\cdot10^{-3}\) К, а \(\Delta P_{\max}=P_0\bigl[(1+0{,}1/300)^4-1\bigr]\approx1{,}336\cdot10^{14}\) Вт — совпадение с ответом до сотых. Физический смысл: чтобы нагреть Землю на \(0{,}1\) К, надо увеличить приходящую мощность на \(\approx0{,}13\,\%\) от солнечной.

Ответ. \(\Delta T\approx\dfrac{T\,\Delta P}{4P_0}\approx7{,}5\cdot10^{-3}\) К;  \(\Delta P_{\max}\approx\dfrac{4P_0\,\Delta T_{\max}}{T}\approx1{,}3\cdot10^{14}\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.