Нить через отверстие

Тело движется почти без ускорения, а натяжение нити направлено вдоль нити. Спроектируйте все силы на направление, перпендикулярное нити: какая сила пропадёт, и что тогда можно сказать о направлении скорости? Затем вспомните, как направлена касательная к окружности относительно хорды.

\(\mu=\operatorname{tg}\alpha\).

Что происходит. Нить тянут очень медленно, поэтому ускорение тела равно нулю в каждый момент, и сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Натяжение нити направлено вдоль нити, то есть к отверстию, а сила трения скольжения направлена против скорости. Проекция сил на направление, перпендикулярное нити, не содержит натяжения, и из неё находится угол между скоростью и нитью. Условие «траектория — полуокружность» задаёт этот угол другим способом (по свойству касательной к окружности). Сравнив два выражения, находим \(\mu\).

Обозначения. \(O\) — отверстие, \(L\) — начальная длина нити (расстояние от \(O\) до тела в начале), \(r\) — текущая длина нити. Положение тела задаём углом \(\theta\) между нитью и линией наибольшего ската, проведённой из \(O\) вниз по плоскости; в начале \(\theta=90^\circ\). Сила тяжести даёт вдоль плоскости составляющую \(mg\sin\alpha\) вниз по склону и составляющую \(mg\cos\alpha\) перпендикулярно плоскости. Сила нормальной реакции \(N=mg\cos\alpha\) (второй закон Ньютона в проекции на нормаль к плоскости: ускорения нет), максимальная сила трения скольжения \(F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\). Угол между вектором скорости \(\vec v\) и направлением на отверстие обозначим \(\psi\).

1. Условие равновесия вдоль плоскости. Тело скользит, поэтому трение скольжения направлено против скорости и по величине равно \(\mu mg\cos\alpha\). Ускорения нет, поэтому векторная сумма трёх сил в плоскости равна нулю (второй закон Ньютона, \(\vec a=0\)): \[\vec T+m\vec g_{\parallel}+\vec F_{\text{тр}}=0.\]

2. Проекция на направление, перпендикулярное нити. Натяжение нити \(\vec T\) направлено вдоль нити, его проекция на перпендикуляр к нити равна нулю. Составляющая \(mg\sin\alpha\) вниз по склону даёт на этот перпендикуляр проекцию \(mg\sin\alpha\,\sin\theta\) в сторону от линии наибольшего ската (по направлению, где угол \(\theta\) уменьшается). Сила трения, направленная против \(\vec v\), даёт на тот же перпендикуляр проекцию \(\mu mg\cos\alpha\,\sin\psi\) в противоположную сторону. Их сумма равна нулю: \[mg\sin\alpha\,\sin\theta=\mu mg\cos\alpha\,\sin\psi\quad\Rightarrow\quad\sin\psi=\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\mu}\,\sin\theta.\] Это верно в любой точке траектории и связывает направление скорости с положением тела.

3. Полуокружность. Пусть траектория — окружность диаметра \(L\) с концами \(O\) (отверстие) и \(A\) (начальное положение тела). Возьмём точку \(B\) окружности, в которой нить составляет с \(OA\) угол \(\varphi=90^\circ-\theta\) (угол \(\theta\) отсчитан от линии наибольшего ската, она перпендикулярна \(OA\)). Угол \(OBA\) опирается на диаметр, поэтому прямой, и угол \(OAB\) равен \(90^\circ-\varphi=\theta\). Угол между касательной в точке \(B\) и хордой \(BO\) равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду (теорема об угле между касательной и хордой), то есть \(\angle OAB=\theta\). Скорость направлена по касательной, поэтому \(\psi=\theta\) в каждой точке траектории.

4. Сравнение. Подставляем \(\psi=\theta\) в результат шага 2: \(\sin\theta=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\mu}\sin\theta\) при всех \(\theta\). Отсюда \[\mu=\operatorname{tg}\alpha.\]

Обратите внимание: полуокружность получается только при \(\mu=\operatorname{tg}\alpha\). В начале тело лежит при горизонтальной нити, и вдоль плоскости на него действует только \(mg\sin\alpha\) вниз. Если \(\mu>\operatorname{tg}\alpha\), трение покоя удерживает тело, и при вытягивании нити оно сначала поедет прямо к отверстию (путь — отрезок, а не дуга). Если \(\mu<\operatorname{tg}\alpha\), тело сразу соскальзывает вниз быстрее, чем тянут нить, и медленного движения нет. Угол поворота нити до отверстия при этом всего \(90^\circ\), а не \(180^\circ\): поэтому «половина окружности» относится к траектории тела.

Проверка. Коэффициент трения безразмерен, \(\operatorname{tg}\alpha\) тоже. Второй способ: из шага 1 в радиальной проекции \(T=mg\sin\alpha\cos\theta+\mu mg\cos\alpha\cos\psi=2mg\sin\alpha\cos\theta\ge0\) при \(0\le\theta\le90^\circ\), то есть нить везде натянута, а в начале (\(\theta=90^\circ\)) натяжение равно нулю. Это согласуется с физикой: в начале сила тяжести вдоль плоскости уравновешена максимальным трением, \(mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha\), тело вот-вот сдвинется, как раз при \(\mu=\operatorname{tg}\alpha\).

Ответ. \(\mu=\operatorname{tg}\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.