Морская электростанция

Вода между пластинами — источник тока: на ионы в движущейся воде действует сила Лоренца. Найдите его ЭДС и внутреннее сопротивление слоя воды, а потом вспомните, при каком сопротивлении нагрузки мощность на ней наибольшая.

\(P_{\max}=\dfrac{\varepsilon^{2}}{4r}=\dfrac{B^{2}v^{2}SL}{4\rho}=1\) Вт.

Что происходит. Вода течёт поперёк магнитного поля, поэтому на положительные и отрицательные ионы действует сила Лоренца, направленная вертикально, и они расходятся к разным пластинам. Это источник тока: слой воды между пластинами имеет ЭДС \(\varepsilon\) и внутреннее сопротивление \(r\). Мощность на нагрузке наибольшая при \(R=r\), а оба параметра источника считаются по условию. Главная идея: нарисовать эквивалентную схему «источник + нагрузка» и найти \(\varepsilon\) и \(r\).

Обозначения. Ось \(x\) — на восток, \(y\) — на север, \(z\) — вверх. Тогда \(\vec v=-v\,\vec e_x\), \(\vec B=B\,\vec e_y\). \(R\) — сопротивление внешней нагрузки, \(\varepsilon\) — ЭДС слоя воды, \(r\) — его сопротивление.

1. Направление силы и ЭДС. Сила Лоренца на положительный ион \(q\vec v\times\vec B\) направлена вдоль \(-\vec e_x\times\vec e_y=-\vec e_z\), то есть вниз: положительные ионы накапливаются на нижней пластине, отрицательные — на верхней. Накопление идёт, пока электрическое поле \(E\) между пластинами не уравновесит силу Лоренца: \(qE=qvB\) (второй закон Ньютона для иона при отсутствии нагрузки: ускорения нет). Тогда напряжение разомкнутой цепи равно ЭДС \[\varepsilon=EL=vBL=1\cdot10^{-4}\cdot100\ \text{В}=10^{-2}\ \text{В}.\]

2. Внутреннее сопротивление. Слой воды — проводник длиной \(L\) (вдоль тока) и площадью сечения \(S\) (ток идёт между пластинами сверху вниз и равномерно распределён по всей площади, так как \(L\ll\sqrt S\approx1\) км, краевыми эффектами пренебрегаем): \[r=\frac{\rho L}{S}=\frac{0{,}25\cdot100}{10^{6}}\ \text{Ом}=2{,}5\cdot10^{-5}\ \text{Ом}.\]

3. Мощность на нагрузке. По закону Ома для полной цепи \(I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}\), мощность на нагрузке \[P=I^{2}R=\frac{\varepsilon^{2}R}{(R+r)^{2}}.\] При \(R\to0\) и \(R\to\infty\) мощность стремится к нулю, а максимум находится из \(\dfrac{dP}{dR}=0\): \((R+r)^2-2R(R+r)=0\), откуда \(R=r\) (нагрузка согласована с источником, этот же результат даёт неравенство \((R+r)^2\ge4Rr\)).

4. Максимальная мощность. При \(R=r\) \[P_{\max}=\frac{\varepsilon^{2}}{4r}=\frac{B^{2}v^{2}L^{2}\,S}{4\rho L}=\frac{B^{2}v^{2}SL}{4\rho}=\frac{10^{-8}\cdot10^{6}\cdot100}{4\cdot0{,}25}\ \text{Вт}=1\ \text{Вт}.\]

Обратите внимание: ответ — один ватт на проект площадью в квадратный километр. Для станции на таких размерах это ничтожно, и главное, что мощность растёт только как объём воды \(SL\) между пластинами и как квадрат \(Bv\).

Проверка. Размерность: \([Bv]=\text{В/м}\), поэтому \([B^2v^2SL/\rho]=(\text{В/м})^2\cdot\text{м}^3/(\text{Ом}\cdot\text{м})=\text{В}^2/\text{Ом}=\text{Вт}\). Второй способ: при согласованной нагрузке источник выделяет полную мощность \(\varepsilon^{2}/(2r)=2\) Вт, из них половина (на \(r\) и на \(R=r\) поровну) идёт в нагрузку, то есть \(1\) Вт. Тот же результат даёт расчёт по полю: в воде \(E=vB=10^{-4}\) В/м, плотность тепловой мощности \(E^{2}/\rho\); из-за согласования напряжение на воде вдвое меньше ЭДС, поэтому на нагрузку приходится \(\dfrac{E^{2}}{4\rho}\,SL=1\) Вт.

Ответ. \(P_{\max}=\dfrac{B^{2}v^{2}SL}{4\rho}=1\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.