Корабль на Луне и телескоп БТА

Из-за дифракции на объективе изображение каждой точки Луны — пятнышко конечного размера. Какому размеру на Луне оно соответствует? Сравните его с размером корабля и найдите, на сколько процентов потемнеет это пятнышко, если часть его «светлой» площади занята чёрным кораблём.

Нет: контраст \(\approx0{,}03<k\) (тёмный диск закрывает \(\approx2{,}5\)–\(3\,\%\) площади, соответствующей разрешаемому пятну \(\delta\approx50\) м). Буквы читаются, если штрихи и просветы не уже \(\delta=1{,}22\,\lambda L/D\approx50\) м; сами буквы — высотой порядка сотен метров (около \(200\) м).

Что происходит. Объектив телескопа — круглое отверстие диаметра \(D\). Из-за дифракции изображение точки Луны — не точка, а пятнышко (диск Эйри), угловой радиус которого \(\theta\approx1{,}22\,\lambda/D\). Две соседние точки Луны раздельно видны, если они дальше друг от друга, чем \(\delta=L\theta\). Поэтому корабль размером 8 м сливается с окружающей поверхностью: он лишь немного уменьшает освещённость в центре пятна. Главная идея: найти разрешаемый размер \(\delta\) и сравнить площадь корабля с площадью, которой соответствует пятно, — отношение даёт контраст, который надо сравнить с \(k\).

Обозначения. \(\theta\) — угловой радиус дифракционного пятна, \(\delta\) — соответствующий ему размер на Луне, \(s=\pi r^2\) — площадь корабля, \(S_{\text{эфф}}\) — площадь участка Луны, свет с которого формирует центр пятна, \(\eta\) — контраст (относительное уменьшение освещённости).

1. Разрешаемый размер. Дифракционный предел для круглого объектива и расстояние \(L\) до объекта дают \[\delta=L\theta=1{,}22\,\frac{\lambda L}{D}=1{,}22\cdot\frac{0{,}6\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{8}}{6}\ \text{м}\approx48{,}8\ \text{м}\approx50\ \text{м}.\] Корабль в диаметре \(2r=8\) м в шесть раз меньше этой величины.

2. Контраст изображения корабля. Освещённость в центре изображения создаёт свет с участка Луны, площадью порядка \(S_{\text{эфф}}\): известный результат дифракции на круглом отверстии даёт центральную освещённость пятна от точечного источника в \(\pi D^{2}/(4\lambda^{2}L^{2})\) раз больше средней по площади на Луне, то есть \[S_{\text{эфф}}=\frac{4}{\pi}\Bigl(\frac{\lambda L}{D}\Bigr)^{2}=\frac{4}{\pi}\cdot(40\ \text{м})^{2}\approx2{,}0\cdot10^{3}\ \text{м}^2.\] Корабль чёрный: он вместо светлой поверхности даёт нулевой вклад, и освещённость в центре изображения уменьшается на долю, равную отношению площадей: \[\eta=\frac{s}{S_{\text{эфф}}}=\frac{\pi r^{2}}{S_{\text{эфф}}}=\frac{\pi^{2}r^{2}D^{2}}{4\lambda^{2}L^{2}}=\frac{50{,}3}{2037}\approx0{,}025.\] Грубая оценка через \(\delta\) даёт почти то же: \(\eta\sim(2r/\delta)^{2}=(8/48{,}8)^{2}\approx0{,}027\).

Результат \(\eta\approx0{,}03<k=0{,}05\): надёжно различить такой контраст нельзя, корабль обнаружить не удастся.

3. Буквы. Чтобы прочесть букву, надо различать её штрихи и просветы между ними, а они должны быть не меньше \(\delta\approx50\) м. В букве хотя бы три-пять таких деталей (например, буква «Ш»), поэтому высота букв должна быть порядка \[H\sim(3\div5)\,\delta\approx150\div250\ \text{м}.\] Контраст при этом порядка единицы (штрих шириной \(\delta\) закрывает заметную часть пятна), так что условие \(k=0{,}05\) выполняется с большим запасом. Узкий штрих шириной \(a\ll\delta\) и длиной больше \(\delta\) даёт контраст всего \(\eta\approx0{,}85\,aD/(\lambda L)\approx a/(47\ \text{м})\) и по контрасту был бы виден уже при \(a\gtrsim2{,}4\) м, но штрихи и просветы раздельно читаются лишь при \(a\gtrsim\delta\), а это условие жёстче.

Обратите внимание: так считают при идеальной атмосфере и дифракционном пределе, которого и требует условие. Реальная атмосфера размывает изображение до \(\sim1''\approx5\cdot10^{-6}\) рад, то есть до \(\sim2\) км на Луне, и на практике буквы пришлось бы выкладывать километровыми.

Проверка. Размерность: \(\lambda L/D=\text{м}\cdot\text{м}/\text{м}\) — метры, контраст \(\pi^2r^2D^2/(4\lambda^2L^2)\) безразмерен. Предел: при увеличении \(D\) площадь \(S_{\text{эфф}}\propto1/D^{2}\) уменьшается, и контраст растёт как \(D^{2}\). Из условия \(\eta\ge k\) следует, что корабль заметен при \(D\ge\dfrac{2\lambda L}{\pi r}\sqrt k\approx8{,}5\) м, то есть БТА с \(D=6\) м не дотягивает в \(\approx1{,}4\) раза, что согласуется с \(\eta\approx0{,}5k\).

Ответ. Нельзя: контраст \(\eta\approx0{,}03<0{,}05\). Буквы можно прочесть, если ширина штриха не меньше \(\delta=1{,}22\,\lambda L/D\approx50\) м, то есть высота букв порядка \(200\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.