Вращение Галактики и Андромеды

Заметить вращение можно, когда Андромеда сместится на небе хотя бы на угол, который телескоп различает. Угловую скорость вращения найдите из второго закона Ньютона для одной из масс, а числа получите, сравнив с Землёй и Солнцем.

\(t=\dfrac{\lambda}{D}\sqrt{\dfrac{R^3}{G(M_{\text{Г}}+M_{\text{А}})}}\approx 9\cdot10^{2}\) лет.

Что происходит. Галактика и Андромеда притягиваются и обращаются вокруг общего центра масс \(O\); прямая, соединяющая их, поворачивается с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Если смотреть из Галактики, Андромеда обращается вокруг неё по окружности радиуса \(R\) с той же \(\omega\) (рисунок ниже). За время \(t\) изображение Андромеды сдвигается на угол \(\varphi=\omega t\). Заметить сдвиг можно, когда он не меньше угла, который различает телескоп. Главная идея — найти \(\omega\) из второго закона Ньютона и сравнить с Землёй, для которой всё известно.

Обозначения. \(r_{\text{Г}}\) и \(r_{\text{А}}\) — расстояния от центра масс до Галактики и до Андромеды, \(r_{\text{Г}}+r_{\text{А}}=R\); \(M=M_{\text{Г}}+M_{\text{А}}\); \(\omega_0=2\pi/(1\text{ год})\) — угловая скорость Земли на орбите.

1. Угловая скорость вращения. Центр масс делит расстояние между телами обратно пропорционально массам: \(r_{\text{Г}}=R\,M_{\text{А}}/M\). Обе массы обращаются с одной и той же \(\omega\), потому что прямая между ними всё время проходит через \(O\). Запишем второй закон Ньютона для Галактики: центростремительное ускорение создаёт сила тяготения со стороны Андромеды, \[M_{\text{Г}}\,\omega^2 r_{\text{Г}}=\frac{G M_{\text{Г}} M_{\text{А}}}{R^2}.\] Подставим \(r_{\text{Г}}\) и сократим \(M_{\text{Г}}M_{\text{А}}\): \[\omega^2\,\frac{R}{M}=\frac{G}{R^2}\quad\Rightarrow\quad \omega^2=\frac{G\,(M_{\text{Г}}+M_{\text{А}})}{R^3}.\] Обратите внимание: в \(\omega\) входит сумма масс, а не масса одной из них: так выглядит закон Кеплера для двух притягивающихся тел.

2. Сравнение с Землёй. Для Земли, обращающейся вокруг Солнца, тот же закон даёт \(\omega_0^2=GM_0/R_0^3\). Разделим одно на другое, \(G\) сократится: \[\frac{\omega^2}{\omega_0^2}=\frac{M_{\text{Г}}+M_{\text{А}}}{M_0}\left(\frac{R_0}{R}\right)^3=\frac{6{,}1\cdot10^{11}}{(1{,}42\cdot10^{11})^3}\approx 2{,}1\cdot10^{-22}, \qquad \omega\approx1{,}46\cdot10^{-11}\,\omega_0 .\]

3. Что различает телескоп. Зеркало диаметром \(D\) при длине волны \(\lambda\) даёт изображение точки с угловым размером порядка дифракционного предела \[\theta=\frac{\lambda}{D}=\frac{5\cdot10^{-7}}{6}\approx 8{,}3\cdot10^{-8}\text{ рад}.\] Сдвиг Андромеды на угол меньше \(\theta\) на снимках не виден. Сдвинуться на \(\theta\) она должна относительно далёких фоновых объектов: направление на неё поворачивается на угол \(\varphi=\omega t\).

4. Время. Условие \(\omega t=\theta\) даёт \[t=\frac{\theta}{\omega}=\frac{\lambda}{D}\sqrt{\frac{R^3}{G\,(M_{\text{Г}}+M_{\text{А}})}} =\frac{8{,}3\cdot10^{-8}}{1{,}46\cdot10^{-11}\cdot 2\pi}\text{ года}\approx 9\cdot10^{2}\text{ лет}.\] Обратите внимание: угол поворота очень мал, и вся модель — оценка: орбита считается круговой, плоскость орбиты — перпендикулярной лучу зрения, а предел разрешения — \(\lambda/D\) (с множителем \(1{,}22\) вышло бы около \(1100\) лет, порядок тот же).

Проверка. Размерность: \(\sqrt{R^3/(GM)}\) имеет размерность времени, потому что \(GM/R^2\) — ускорение. Смысл числа: период взаимного обращения \(2\pi/\omega\approx7\cdot10^{10}\) лет, больше возраста Вселенной, поэтому за тысячу лет направление поворачивается лишь на \(\sim10^{-7}\) рад — как раз на предел телескопа. Если бы массы были больше в \(100\) раз, время сократилось бы в \(10\) раз.

Ответ: \(t=\dfrac{\lambda}{D}\sqrt{\dfrac{R^3}{G\,(M_{\text{Г}}+M_{\text{А}})}}\approx9\cdot10^{2}\) лет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.