«Чёрный ящик» с тремя выводами

Идеальный амперметр замыкает выводы 3 и 2 накоротко, а идеальный вольтметр тока не потребляет. Какие элементы могут стоять на пути тока в первой схеме, чтобы ток отставал по фазе и почти не менялся при уменьшении частоты? Постройте векторные диаграммы напряжений для обеих схем.

\(R=150\) Ом, \(L\approx13{,}8\) мГн, \(C\approx0{,}46\) мкФ (напряжение генератора \(U_0=10\sqrt3\approx17\) В); частоту надо увеличить в \(2\) раза.

Что происходит. Сначала по данным первой схемы выясним, из чего состоит ветвь \(1\)–\(3\), а потом по второй найдём всё остальное. В схеме а идеальный амперметр соединяет выводы \(3\) и \(2\) накоротко, а генератор подключён к выводам \(1\) и \(2\): амперметр измеряет ток, текущий от вывода \(1\) через ящик к выводу \(3\). Ток отстаёт по фазе — в этой ветви есть катушка. При уменьшении частоты в \(100\) раз ток вырос менее чем в \(2\) раза — значит, при малой частоте сопротивление ветви остаётся порядка \(R\): есть резистор, а конденсатора в этой ветви нет (он давал бы \(I\to0\) при \(\omega\to0\)). Значит, между выводами \(1\) и \(3\) последовательно стоят катушка и резистор, а конденсатор может быть только между выводами \(3\) и \(2\): так он замкнут амперметром накоротко и не влияет на \(I_1\), а в схеме б вольтметр показывает напряжение именно на конденсаторе. Это единственное расположение, при котором данные согласуются: конденсатор параллельно генератору (выводы \(1\) и \(2\)) оставил бы вольтметру нулевой сдвиг фаз.

Главная идея — записать условия через векторные диаграммы напряжений: ток \(I\) общий для последовательной цепи, \(U_R\) с ним в фазе, \(U_L\) опережает его на \(\pi/2\), \(U_C\) отстаёт на \(\pi/2\).

Обозначения. \(\omega=2\pi\nu_1\); \(U_0\) — амплитуда напряжения генератора (неизвестна, неизменна); \(I_2\) — ток в схеме б. Все напряжения и токи — амплитудные (или все действующие): их отношения одни и те же.

1. Схема а.} Цепь — катушка и резистор последовательно (\(C\) закорочен). Ток отстаёт от напряжения на \(\varphi=\pi/6\), а из диаграммы (рисунок ниже, а) \(\tan\varphi=U_L/U_R=\omega L/R\). Отсюда \[\omega L=R\tan\frac{\pi}{6}=\frac{R}{\sqrt3},\qquad |Z_a|=\frac{R}{\cos(\pi/6)}=\frac{2R}{\sqrt3},\qquad I_1=\frac{U_0}{|Z_a|}=\frac{\sqrt3\,U_0}{2R}.\] При уменьшении частоты в \(100\) раз \(\omega L\) становится в \(100\) раз меньше и \(|Z|\) уменьшается от \(2R/\sqrt3\approx1{,}155R\) до \(R\): ток растёт в \(1{,}155\) раза, меньше чем в \(2\), как и сказано.

2. Схема б.} Вольтметр идеальный, ток через него не идёт, поэтому цепь — резистор, катушка и конденсатор последовательно, общий ток \(I_2\), а вольтметр показывает напряжение на конденсаторе \(U_1=I_2/(\omega C)\). Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на \(\pi/2\). Если бы ток отставал от напряжения генератора (цепь индуктивная), то \(U_C\) отставало бы от \(U_0\) на угол больше \(\pi/2\); сдвиг \(\pi/6\) возможен, только когда ток опережает напряжение на угол \(\varphi_2\) и \(\pi/2-\varphi_2=\pi/6\): \[\varphi_2=\frac{\pi}{3}.\] Диаграмма (рисунок ниже, б): \(U_R=I_2R\) — по току, \(U_L=I_2\omega L\) — вверх, \(U_C=I_2/(\omega C)\) — вниз, сумма \(\vec U_R+\vec U_L+\vec U_C=\vec U_0\) наклонена к току на \(\pi/3\) вниз. Отсюда \[\frac{U_C-U_L}{U_R}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\omega C}=\omega L+\sqrt3\,R=\frac{R}{\sqrt3}+\sqrt3R=\frac{4R}{\sqrt3}, \qquad |Z_{\text{б}}|=\frac{R}{\cos(\pi/3)}=2R .\]

На рисунке \(U_C\) справа перенесено без изменения вдоль самого себя, а штриховой \(U_C\) слева показывает угол \(\alpha=\pi/6\) между \(U_C\) и \(U_0\). Числа для рисунка: а) \(U_R=15\) В, \(U_L=8{,}7\) В, \(U_0=17{,}3\) В; б) \(U_R=8{,}7\) В, \(U_L=5\) В, \(U_C=20\) В.

3. Параметры. Показание вольтметра: \[U_1=I_2\cdot\frac{1}{\omega C}=\frac{U_0}{2R}\cdot\frac{4R}{\sqrt3}=\frac{2U_0}{\sqrt3}\quad\Rightarrow\quad U_0=\frac{\sqrt3}{2}U_1=10\sqrt3\ \text{В}\approx17{,}3\ \text{В}.\] Из пункта 1: \[R=\frac{\sqrt3\,U_0}{2I_1}=\frac{\sqrt3\cdot10\sqrt3}{2\cdot0{,}1}\ \text{Ом}=150\ \text{Ом},\] \[L=\frac{R}{\sqrt3\,\omega}=\frac{150}{\sqrt3\cdot2\pi\cdot1000}\ \text{Гн}\approx1{,}38\cdot10^{-2}\ \text{Гн},\qquad C=\frac{\sqrt3}{4R\omega}=\frac{\sqrt3}{4\cdot150\cdot2\pi\cdot1000}\ \text{Ф}\approx4{,}6\cdot10^{-7}\ \text{Ф}.\]

4. Сдвиг \(\pi/2\). Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на \(\pi/2\) всегда. Сдвиг между \(U_C\) и \(U_0\) равен \(\pi/2\), когда ток совпадает по фазе с \(U_0\), то есть при резонансе \(\omega_{\text{р}}L=1/(\omega_{\text{р}}C)\), \(\omega_{\text{р}}^2=1/(LC)\). На частоте \(\omega\) отношение \(\omega L\) к \(1/(\omega C)\) равно \(\omega^2LC=\dfrac{R/\sqrt3}{4R/\sqrt3}=\dfrac14\), поэтому \[\left(\frac{\omega_{\text{р}}}{\omega}\right)^2=\frac{1}{\omega^2LC}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{\omega_{\text{р}}}{\omega}=2 .\] Обратите внимание: ящик на рисунке не раскрыт, и порядок катушки и резистора в ветви \(1\)–\(3\) никакие из этих измерений не определяют: они влияют на результат одинаково, пока оба в одной ветви.

Проверка. Размерность: \(\omega L\) и \(1/(\omega C)\) — ом, \(R\) — ом. Проверим схему б числами: \(|Z_{\text{б}}|=300\) Ом, \(I_2=17{,}3/300\approx0{,}058\) А, \(U_C=0{,}058\cdot346{,}4=20\) В — как показал вольтметр. Резонанс: \(\omega_{\text{р}}=2\omega\) даёт \(\omega_{\text{р}}L=173\) Ом \(=1/(\omega_{\text{р}}C)\). Смысл: на частоте \(\nu_1\) конденсатор «сильнее» катушки в \(4\) раза по сопротивлению, цепь ёмкостная, и надо поднять частоту, чтобы уравнять реактивные сопротивления.

Ответ: \(R=150\) Ом, \(L\approx13{,}8\) мГн, \(C\approx0{,}46\) мкФ; частоту нужно увеличить в \(2\) раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.