Задачи › Чёрный ящик

Серый омметр

  1. Серый омметр

    ВсОШ 2015/16, 9 кл.
    7/10

    Вашему вниманию предлагаются две упрощённые модели внутреннего устройства омметра. Согласно первой, он состоит из соединённых последовательно идеального источника с напряжением \(U_0\), резистора с сопротивлением \(r\) и идеального амперметра (рис. 1). Показания амперметра автоматически пересчитываются в сопротивление подключённого резистора \(R_x\), которое отображается на цифровом табло прибора. В различных диапазонах измерения сопротивлений (200; 2000; 20k; 200k; 2000k) напряжение \(U_0\) источника и сопротивление \(r\) резистора могут отличаться.

    Рисунок

    Во второй модели (рис. 2) омметр представляет собой источник тока (устройство, обеспечивающее протекание через себя постоянного тока, равного \(I_0\)), соединённый параллельно с идеальным вольтметром. Измеряемое напряжение пересчитывается в сопротивление подключённого резистора \(R_x\) и отображается на цифровом табло прибора. При этом в различных диапазонах измерения сопротивлений (200; 2000; 20k; 200k; 2000k) сила тока \(I_0\) может отличаться.

    Рисунок

    1. Определите внутреннее сопротивление вольтметра для диапазонов измерений 20 В, 2000 мВ и 200 мВ.

    2. Снимите зависимость напряжения \(U\) на омметре, работающем в режиме измерения 20 кОм, от величины сопротивления \(R_x\) подключённого к нему резистора.

    3. Постройте график полученной экспериментальной зависимости \(U(R_x)\).

    4. В качестве доказательства справедливости одной из моделей, с учётом выведенных теоретических зависимостей, постройте график функции, связывающей измеренные величины \(U\) и \(R_x\) в таких осях, в которых она должна быть линейной.

    5. Выберите лучшую модель устройства омметра, обосновав свой выбор.

    6. В предположении, что выбранная модель работает для всех диапазонов, определите параметры элементов схемы омметра для каждого из диапазонов (200; 2000; 20k; 200k; 2000k). Составьте таблицу полученных результатов и оцените их погрешность.

    Указания. Чёрный мультиметр можно использовать только в режиме омметра! Серый мультиметр можно использовать только в режиме вольтметра! Выключайте приборы, если не проводите на них измерения. Считать, что погрешность показаний приборов 1% или 2 единицы последнего разряда.

    Оборудование. Исследуемый омметр (чёрный мультиметр, модель 830B) с проводами «крокодил», вольтметр (серый мультиметр) с проводами, переменный резистор (0–10 кОм) с проводами «крокодил», 2 листа миллиметровой бумаги для построения графиков.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для первой модели ток через омметр равен \(U/R_x\), а напряжение на нём \(U = U_0 R_x/(R_x + r)\). Попробуйте линеаризовать эту зависимость, взяв обратные величины: какой график получится прямой?

    Ответ

    1) \(R_V = 1\) МОм;  2)–3) см. таблицу 1 и график 1 в решении;  4) график в осях \(\dfrac{1}{U}\left(\dfrac{1}{R_x}\right)\) линеен (график 2);  5) лучшая модель — первая;  6) \(U_0\) и \(r\) для всех диапазонов — см. таблицу 3 в решении.

    Решение

    Сопротивление мультиметра в режиме вольтметра на разных диапазонах измеряем непосредственно омметром. Оно составляет \(R_V = 1\) МОм. При измерениях напряжений, превышающих 20 кОм (в этом случае влияние вольтметра может вносить систематическую погрешность, превышающую 2%), необходимо вносить поправку на конечность сопротивления вольтметра.

    Для исследования зависимости напряжения на выходе омметра от измеряемого сопротивления \(R_x\) используем переменный резистор и мультиметр в режиме вольтметра, подключённые параллельно (рис. 14). Омметр переводим в режим с пределом измерения 20 кОм. Результаты измерений приведены в таблице 1 и на графике 1.

    Рисунок
    Рисунок
    Рисунок

    Теоретическая зависимость для первой модели: \(U = I R_x = \dfrac{U_0 R_x}{R_x + r}\). Для второй модели, с учётом идеальности внутреннего и внешнего вольтметров, \(U = I_0 R_x\). Так как характер зависимости нелинейный (график 1), вторая модель далее не рассматривается.

    Для проверки первой модели линеаризуем результаты, построив график в осях \(\left(\dfrac{1}{U};\ \dfrac{1}{R_x}\right)\): теоретическая зависимость имеет вид \(\dfrac{1}{U} = \dfrac{1}{U_0} + \dfrac{r}{U_0 R_x}\), то есть линейна (график 2).

    Рисунок

    Далее ищем параметры первой модели (\(U_0\) и \(r\)) для каждого диапазона. Соберём цепь 1 (рис. 15) и снимем показания вольтметра \(U_1\) на всех диапазонах омметра (измерения на диапазоне 20 В вольтметра). Затем соберём цепь 2 (рис. 16) и снимем показания \(U_2\) при \(R_x = R = 1\) кОм на диапазонах 2000 мВ и 200 мВ вольтметра. Результаты — в таблице 2.

    Рисунок
    Рисунок
    Рисунок

    В первой цепи \(I_1 = U_1/R_V\) и \(U_1 = U_0 - \dfrac{U_1}{R_V} r\). Во второй \(I_2 = U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right)\), откуда \(U_2 = U_0 - U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) r\). Решая систему, получаем точные формулы \[r = \frac{U_1 - U_2}{U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) - \dfrac{U_1}{R_V}}, \qquad U_0 = \frac{U_1 U_2 R_V}{U_2 (R_V + R) - U_1 R}.\] При \(R_V \gg R\) получаем приближённые формулы \(r^* = \dfrac{U_1 - U_2}{U_2/R - U_1/R_V}\) и \(U_0^* = \dfrac{U_1 U_2 R_V}{U_2 R_V - U_1 R}\); в грубом приближении идеального вольтметра \(r^{**} = \dfrac{U_1 - U_2}{U_2} R\) и \(U_0^{**} = U_1\). Результаты расчётов — в таблице 3.

    Рисунок

    Погрешность результатов ввиду сложных аналитических зависимостей можно оценить по формулам грубого приближения: \(\varepsilon_{U_0} \approx \varepsilon_{U_1} = 1\%\), \(\varepsilon_r \approx \varepsilon_{U_1} + \varepsilon_{U_2} + \varepsilon_R = 3\%\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх