Шарик в жидкости

Линейка служит рычагом: из условия равновесия моментов найдите силу натяжения нити. На линейном участке графика сила пропорциональна глубине погружения, а коэффициент пропорциональности связан с плотностью жидкости и площадью сечения шарика.

Сначала определим положение центра масс линейки. Для измерения силы натяжения используем линейку в качестве рычага, осью которого служит стержень, закреплённый в штативе. Подвесим шарик так, чтобы он касался поверхности воды, и определим значения \(h_0\) и \(H_0\) (рис. 17).

Уравновесим на рычаге частично погружённый в жидкость шарик. Металлической линейкой измеряем расстояние от уровня жидкости до верха стакана \(h\) и расстояние от поверхности стола до деревянной линейки \(H\) в точке опоры (рис. 18), следя за горизонтальностью линейки. Глубина погружения шарика \(l = H_0 + h_0 - h - H\). Сила натяжения нити рассчитывается по правилу моментов относительно точки опоры: \(T x = m g (x_0 - x)\), где \(x\) — расстояние от точки опоры до точки подвеса шарика, \(x_0\) — расстояние от точки подвеса шарика до центра масс линейки. Условие равновесия шарика: \(T + F_{\text{арх}} = m_ш g\).

В эксперименте \(H_0 = 260\) мм, \(h_0 = 70\) мм, \(L = 247\) мм, масса линейки \(m = 22{,}62\) г. Результаты измерений — в таблице 4.

Построим график зависимости силы натяжения нити от глубины погружения \(T(l)\) (рис. 19).

Из графика видно, что при погружении шарика примерно наполовину зависимость становится линейной. Это объясняется тем, что форму центральной части шарика можно приближённо считать цилиндрической. Для определения площади поперечного сечения измерим длину окружности шарика \(L\), прокатив его по линейке: \(S = \dfrac{L^2}{4\pi}\), где \(L = 186\) мм.

Для линейного участка сила \(T\) пропорциональна глубине погружения. По угловому коэффициенту, который равен \(\rho_ж g S = 31{,}5\) Н/м, находим плотность жидкости \(\rho = 1{,}17\) г/см\(^3\).

Оценим погрешность. Глубину погружения вычисляем по двум расстояниям, каждое из которых измерено с погрешностью \(0{,}5\) мм, значит \(\Delta l = 1\) мм. Сила натяжения \(T = mg\,l_1/l_2\), поэтому \(\varepsilon_T \approx 0{,}05\), а \(\varepsilon_S = 2\varepsilon_L = 2\dfrac{\Delta L}{L} = 2\cdot\dfrac{2~\text{мм}}{186~\text{мм}}\). Погрешность углового коэффициента \(\varepsilon_k = 0{,}06\) (полуразность максимального и минимального наклонов прямых, проведённых через кресты ошибок). Тогда \(\varepsilon_\rho = \varepsilon_k + \varepsilon_S = 0{,}08\) и окончательно \(\rho = (1{,}17 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\).