Чёрный ящик

Сравните ток при подключении батарейки в первый момент и спустя долгое время, а также напряжение и ток сразу после отключения батарейки: по ним видно, есть ли конденсатор и какие резисторы с ним соединены.

Можно провести несколько измерений.

i) (2 балла). Можно измерить напряжение батарейки \(\mathcal E\approx3{,}2\) В.

ii) (2 балла). Затем можно подключить батарейку к выводам ящика через амперметр и измерить ток. Оказывается, что в первый момент \(I_{c0}\approx1{,}3\) мА; однако затем ток начинает уменьшаться (уменьшаясь вдвое за время \(\tau_1\approx12\) с) и в пределе больших времён достигает конечного значения \(I_{c\infty}\approx0{,}35\) мА.

iii) (2 балла). Далее можно измерить напряжение на выводах после отключения батарейки. В первый момент \(V_d\approx2{,}35\) В; оно уменьшается вдвое за \(\tau_2\approx25\) с и в пределе больших времён исчезает.

iv) (4 балла). Наконец, можно подключить амперметр к выводам сразу после отключения батарейки и измерить ток. Вначале он имеет значение \(I_d\approx1{,}0\) мА и в пределе больших времён исчезает.

Из пунктов iii и ii можно заключить, что в ящике должен быть конденсатор \(C\) (если бы там была индуктивность, ток \(I_c\) со временем увеличивался бы). Из-за саморазряда (напряжение исчезает в пункте iii) должен быть резистор \(R_1\), параллельный конденсатору. Из-за затянутой зарядки (в пункте ii, \(\tau_1>0\)) должен быть и резистор \(R_2\), соединённый последовательно с конденсатором. Итак, есть две возможные схемы, рис. (a) и рис. (b).

В случае (a): \[I_{c0}=\mathcal E/R_2,\qquad I_{c\infty}=\mathcal E/(R_1+R_2),\] \[I_d=\mathcal ER_1/R_2(R_1+R_2),\qquad U_d=\mathcal ER_1/(R_1+R_2).\] В случае (b): \[I_{c0}=\mathcal E(R_2^{-1}+R_1^{-1}),\qquad I_{c\infty}=\mathcal E/R_1,\] \[I_d=\mathcal E/R_2,\qquad U_d=\mathcal ER_1/(R_1+R_2).\] В обоих случаях есть две неизвестные величины (\(R_1\) и \(R_2\)) и четыре уравнения. Оказывается (следует из этих уравнений), что в обоих случаях между измеренными величинами должны выполняться два равенства: \(U_d=\mathcal EI_{c\infty}/I_{c0}\) и \(I_{c0}=I_{c\infty}+I_d\). Значит, эффективное (независимое) число уравнений уменьшается на два, что всё ещё оставляет два — как раз достаточно для нахождения \(R_1\) и \(R_2\), но недостаточно, чтобы различить случаи (a) и (b). На самом деле можно показать, что эти два случая нельзя различить, даже изучая зависимости напряжения и токов от времени. Итак, можно сказать, что у нас либо схема (a) с \(R_2=\mathcal E/I_{c0}\approx2{,}5\) кОм и \(R_1=\mathcal E/I_{c\infty}-R_2\approx6{,}9\) кОм, либо схема (b) с \(R_1=\mathcal E/I_{c\infty}\approx9{,}1\) кОм и \(R_2=\mathcal E/I_d\approx3{,}2\) кОм.

Ёмкость конденсатора можно оценить по характерным временам спада тока. Например, используя характерное время \(\tau_2\), в случае (a) имеем \(\tau_2=\ln2\,R_1C\), откуда \(C=\tau_2/\ln2\,R_1\approx5{,}2\) мФ. В случае (b) \(\tau_2=\ln2\,(R_1+R_2)C\), откуда \(C=\tau_2/\ln2\,(R_1+R_2)\approx2{,}9\) мФ.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.