Чёрный ящик

Замыкая пары контактов и измеряя сопротивление между остальными, выясните, какие резисторы вообще присутствуют: если замыкание не меняет показание, соответствующего соединения в схеме нет.

Примечание: на самом деле провод не нужен: хватило бы шести измерений, и получилась бы система шести уравнений с шестью неизвестными (в предположении, что есть шесть резисторов, два из которых имеют бесконечно большое значение), но решать её утомительно.

Заметим, что если измерить сопротивление между клеммами \(A\) и \(B\) и замкнуть накоротко клеммы \(B\) и \(C\), \(B\) и \(D\) или \(C\) и \(D\), то показание омметра \(R_1\) не меняется. Это возможно только тогда, когда \(B\), \(C\) и \(D\) соединены треугольником, между \(A\) и \(B\) стоит сопротивление \(R_{AB}=R_1\), а остальных сопротивлений нет. Измерим теперь сопротивление \(r_1\) между \(B\) и \(C\), замкнув клеммы \(B\) и \(D\): \[R_{BC}^{-1}+R_{CD}^{-1}=r_1^{-1};\] аналогично \[R_{CD}^{-1}+R_{DB}^{-1}=r_2^{-1}\] и \[R_{DB}^{-1}+R_{BC}^{-1}=r_3^{-1}.\] Суммируя, находим \[R_{BC}^{-1}+R_{CD}^{-1}+R_{DB}^{-1}=\frac12\left(r_1^{-1}+r_2^{-1}+r_3^{-1}\right),\] откуда \[\begin{gather*} R_{BC}^{-1}=\frac12\left(r_1^{-1}-r_2^{-1}+r_3^{-1}\right),\\ R_{CD}^{-1}=\frac12\left(r_1^{-1}+r_2^{-1}-r_3^{-1}\right),\\ R_{DB}^{-1}=\frac12\left(-r_1^{-1}+r_2^{-1}+r_3^{-1}\right). \end{gather*}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.