Втягивание сердечника в катушку

Пока сердечник стоит, индуктивность постоянна, а ток растёт линейно: по графику найдите \(L_0\). Потом ток почти постоянен, а индуктивность растёт — запишите закон сохранения энергии: работа источника идёт в энергию магнитного поля и в кинетическую энергию сердечника.

\(L_0=\dfrac{U t_1}{I_0}\approx1\cdot10^{-4}\) Гн; \(v\approx10\) м/с.

Что происходит. Сразу после подключения сердечник неподвижен, индуктивность катушки \(L_0\) постоянна, и ток растёт линейно: \(U=L_0\,dI/dt\). Затем сердечник набирает скорость и втягивается, индуктивность растёт, и ток перестаёт расти: на графике плато \(I\approx I_0\) до момента \(\tau\). Главная идея — потерь нет, поэтому вся работа источника идёт на энергию магнитного поля и на кинетическую энергию сердечника.

Обозначения. \(L(t)\) — индуктивность катушки с сердечником в момент \(t\); \(t_1=10^{-5}\) с — время нарастания тока до \(I_0=10\) А по графику. Сопротивление катушки и проводов не учитываем: «пренебрегая потерями».

1. Начальная индуктивность. Сердечник за \(t_1\) почти не сдвигается (он начинает движение с нуля), поэтому на первом участке \(L=L_0\). Закон Фарадея для катушки без сопротивления: напряжение источника равно скорости изменения потокосцепления, \[U=\frac{d(LI)}{dt}.\] При \(L=L_0\) получаем \(U=L_0\,dI/dt\), ток растёт линейно, \(I_0=Ut_1/L_0\), откуда \[L_0=\frac{Ut_1}{I_0}=\frac{100\cdot10^{-5}}{10}\ \text{Гн}=1\cdot10^{-4}\ \text{Гн}=0{,}1\ \text{мГн}.\]

2. Индуктивность в момент \(\tau\). Просуммируем уравнение \(U\,dt=d(LI)\) от \(t=0\) (потокосцепление равно нулю) до \(\tau\): \[U\tau=L(\tau)\,I(\tau)\quad\Rightarrow\quad L(\tau)=\frac{U\tau}{I_0}=\frac{100\cdot10^{-3}}{10}\ \text{Гн}=1\cdot10^{-2}\ \text{Гн}=10\ \text{мГн}.\] Индуктивность выросла в \(100\) раз; на плато она растёт почти линейно, \(dL/dt=U/I_0\) (график \(L(t)\) ниже).

3. Работа источника. Источник за время от \(0\) до \(\tau\) совершает работу \(A=\int UI\,dt=Uq\), где \(q=\int I\,dt\) — заряд, прошедший через катушку, то есть площадь под графиком тока. Ток нарастает за \(t_1\) линейно (площадь \(I_0t_1/2\)), потом равен \(I_0\): \[q=I_0\left(\tau-\frac{t_1}{2}\right)\approx10\cdot0{,}995\cdot10^{-3}\ \text{Кл}\approx1\cdot10^{-2}\ \text{Кл},\qquad A=Uq\approx0{,}995\ \text{Дж}\approx1\ \text{Дж}.\]

4. Энергия магнитного поля. В момент \(\tau\) по катушке течёт ток \(I_0\), индуктивность \(L(\tau)\): \[W=\frac{L(\tau)\,I_0^2}{2}=\frac{U\tau\,I_0}{2}=\frac{100\cdot10^{-3}\cdot10}{2}\ \text{Дж}=0{,}5\ \text{Дж}.\]

5. Закон сохранения энергии. Для системы источник — катушка — сердечник без потерь: работа источника равна энергии магнитного поля плюс кинетической энергии сердечника (вначале поля нет, сердечник покоится): \[A=W+\frac{Mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2\,(A-W)}{M}}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}495}{0{,}01}}\ \text{м/с}\approx10\ \text{м/с}.\]

Обратите внимание: ток не растёт, но энергия растёт — из-за роста индуктивности. Источник отдаёт мощность \(UI_0\), но только половина идёт в энергию поля, вторая половина — в работу по втягиванию сердечника.

Проверка. Размерность: \(U\tau I_0\) — вольт на секунду на ампер, то есть джоуль. Второй способ: на плато \(W=L I_0^2/2\) растёт со скоростью \(dW/dt=\dfrac{I_0^2}{2}\dfrac{dL}{dt}=\dfrac{UI_0}{2}=500\) Вт, мощность источника \(UI_0=1000\) Вт, значит на механическую работу идут остальные \(500\) Вт; за \(\tau\) это \(0{,}5\) Дж, и снова \(v=\sqrt{2\cdot0{,}5/0{,}01}=10\) м/с. Смысл: в момент \(\tau\) источник отдал энергию поровну полю и сердечнику.

Ответ: \(L_0=\dfrac{Ut_1}{I_0}\approx1\cdot10^{-4}\) Гн; \(v=\sqrt{\dfrac{2\,(U\,q-U\tau I_0/2)}{M}}\approx10\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.