Переходные процессы в RL- и RLC-цепях, диод и катушка

В цепи, представленной на рисунке ниже, сопротивление резисторов, внутреннее сопротивление батареи, индуктивность катушки и ёмкость конденсатора равны \(R = 100\) Ом, \(r = 1\) Ом, \(L = 0{,}1\) Гн и \(C = 0{,}1\) мкФ соответственно, амперметр идеальный. Цепь подключена к батарее с ЭДС \(\mathcal E = 4\) В через ключ \(K\). Сначала ключ разомкнут.

1. Ключ замыкают. Найдите показания амперметра сразу после замыкания ключа. Ответ дайте в амперах, округлите до целого.

2. После замыкания ключа ожидают достаточно большое время, так что в цепи устанавливается стационарный режим. Что показывает амперметр в стационарном режиме? Ответ дайте в миллиамперах, округлите до целого.

3. После установления стационарного режима ключ размыкают. Какое количество теплоты выделяется на резисторах (суммарно на двух) за большое время после размыкания ключа? Ответ дайте в мкДж, округлите до целого.

В цепи, схема которой представлена на рисунке, конденсатор изначально не заряжен, ключ разомкнут, внутреннее сопротивление батареи равно нулю. ЭДС батареи и сопротивление резистора равны \(\mathcal{E} = 5\) В и \(R = 5\) Ом соответственно. Ключ замыкают и дожидаются установления стационарного режима. При этом на резисторе, присоединённом к конденсатору, выделяется количество теплоты \(Q_1 = 25\) мкДж. После того как напряжение на конденсаторе и ток через катушку установятся, ключ размыкают, и за большое время после этого на резисторе, присоединённом к конденсатору, выделяется количество теплоты \(Q_2 = 25\) мкДж.

1. (2 балла) Найдите ёмкость конденсатора. Ответ дайте в мкФ, округлите до целого.

2. (2 балла) Чему равна индуктивность катушки? Ответ дайте в мкГн, округлите до целого.

В цепи, представленной на рис. 4, ключ изначально разомкнут. Значения обозначенных на рисунке параметров цепи равны: \(\mathcal{E} = 6\) В, \(r = 2\) Ом, \(R = 6\) Ом, \(L = 0{,}2\) Гн. Активное сопротивление катушки равно нулю.

Ключ замыкают и в цепи начинается переходный процесс, при этом ток через батарейку меняется в некотором диапазоне, границы которого обозначим через \(I_{\min}\) и \(I_{\max}\). Считайте известным тот факт, что ток через батарейку в переходном процессе меняется монотонно.

а) (1 балл) Определите значение \(I_{\min}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.

б) (1 балл) Определите значение \(I_{\max}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.

Спустя некоторое время после начала переходного процесса ток через батарейку устанавливается. Далее ключ размыкают.

в) (2 балла) Чему равно напряжение на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) сразу после размыкания ключа? Ответ дайте в вольтах, округлите до целого.

г) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется в цепи после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.

д) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.

В цепи, изображённой на рис. 2, сопротивление каждого из резисторов равно \(R\). Выводы \(A\) и \(B\) цепи на время \(t_0\) подключают к идеальному источнику с ЭДС \(\mathcal{E}\). Индуктивность катушки и ёмкость конденсатора подобраны таким образом, что при подключенном источнике в любой момент времени разность потенциалов точек \(E\) и \(F\) равна нулю. Определите заряд, протекающий через источник за время \(t_0\). Если за время подключения источника в резисторах суммарно выделяется количество теплоты \(Q\), то какое количество теплоты выделится в одном резисторе после отключения источника?

В цепи, схема которой изображена на рисунке слева, ключ \(K\) изначально замкнут, а ток через источник ЭДС не меняется. Значения параметров цепи равны: \(\mathcal{E} = 4{,}5\) В, \(L = 24\) мГн, \(C = 10\) мкФ, \(R = 45\) Ом. Вольт-амперная характеристика диода показана на рисунке справа. Внутренним сопротивлением батареи можно пренебречь. Ключ размыкают, при этом искры в контакте не возникает (система находится в вакууме, размыкание производят очень быстро). Ответьте на следующие вопросы, выразите ответы в Вольтах, округлите до целых.

1. Чему равна ЭДС индукции в катушке сразу после размыкания ключа? (1 балл)

2. Определите максимальное значение ЭДС индукции. (3 балла)

3. Чему равно напряжение на конденсаторе через большое время после размыкания ключа? (2 балла)

В цепях с большой индуктивной нагрузкой ключ часто шунтируют конденсатором (подключают его параллельно ключу), подобно тому как это схематично показано на рисунке ниже. Предлагается рассмотреть две цепи, собранные по схеме, показанной на рисунке: в первой ключ зашунтирован, а во второй "— нет. В обеих цепях изначально ключ замкнут, токи установились. Численные значения параметров цепей следующие: \(\mathcal E = 10\) В, \(R = 100\) Ом, \(R_L = 10\) Ом (сопротивление провода, которым намотана катушка), \(L = 0{,}1\) Гн, \(C = 1\) мкФ. Внутренним сопротивлением батареи можно пренебречь.

1. (2 б.) Определите отношение \(\dfrac{U_1}{U_2}\) напряжений на резисторе сразу после размыкания ключа в первой и второй цепи.

2. (4 б.) Найдите количество теплоты \(Q_1\), выделяющееся после размыкания ключа в первой цепи, и количество теплоты \(Q_2\), которое выделяется на резисторе \(R\) после размыкания ключа во второй цепи.

В цепи, изображённой на рисунке, в начальный момент ключ \(K_1\) замкнут, ключ \(K_2\) разомкнут, ток через батарею со временем не изменяется. Обозначенные на рисунке параметры равны: \(\mathcal{E} = 10\) В, \(R = r = 10\) Ом, \(L = 6\) мГн, \(C = 120\) мкФ. В некоторый момент времени ключ \(K_2\) замыкают и сразу же после этого (практически, мгновенно) размыкают ключ \(K_1\). Далее в цепи происходит переходный процесс и в результате заряд конденсатора престаёт изменяться.

1. Какой заряд \(q_1\) протекает через катушку индуктивностью \(L\) в переходном процессе? Ответ дайте в мкКл, округлите до целого.

2. Найдите количество теплоты \(Q\), выделяющееся в цепи в процессе установления заряда конденсатора. Ответ дайте в мДж, округлите до целого.

В цепи, схема которой изображена на рисунке, катушка имеет индуктивность \(L\), ёмкость конденсатора равна \(C\), сопротивление источника, активное сопротивление катушки и сопротивления проводов пренебрежимо малы. Вольтамперная характеристика диода \(D\) изображена на графике (\(I_D\) — сила текущего через диод тока; \(U_D = \varphi_b - \varphi_a\), где \(\varphi_a\) и \(\varphi_b\) — потенциалы соответствующих точек цепи). В начальный момент ключ \(K\) разомкнут, а конденсатор \(C\) не заряжен. Ключ \(K\) замыкают на время \(t_0 < \sqrt{LC}\), а затем снова размыкают. Определите отношение ЭДС источника \(\mathcal{E}\) к напряжению \(U_0\), при котором открывается диод, если заряд, прошедший через диод после размыкания ключа, в \(n\) раз больше заряда, прошедшего через катушку за время \(t_0\), пока ключ был замкнут.

Из батарейки с ЭДС \(2U_0\), резистора с сопротивлением \(R\), которое намного больше внутреннего сопротивления батарейки, идеальной катушки индуктивностью \(L\), стабилитрона \(S\) и ключа \(K\) собрали цепь, схема которой изображена на левом рисунке. Стабилитрон — это полупроводниковый элемент, подобный диоду, который при подключении в прямом направлении открывается (начинает проводить ток) при напряжении \(U_{\text{пр}}\), а при подключении в обратном направлении — открывается при напряжении стабилизации \(U_{\text{ст}}\). Идеализированная вольт-амперная характеристика (ВАХ) стабилитрона показана на рисунке справа сплошной жирной линией, а реальная ВАХ обозначена пунктирной линией. У используемого в данной цепи стабилитрона \(U_{\text{пр}} = U_0\), а \(U_{\text{ст}} = 10U_0\), его ВАХ можно считать идеализированной.

Ключ в цепи замыкают, ждут некоторое время и размыкают в тот момент, когда напряжение на резисторе составляет \(3U_0/2\).

1. Найдите силу тока, текущего через резистор сразу после замыкания ключа.

2. Определите заряды, протекающие через стабилитрон при замкнутом и разомкнутом ключе.

3. Какое количество теплоты выделится в стабилитроне за всё время?

В цепи, схема которой изображена на рисунке, представленном ниже, параметры \(\mathcal E\), \(L\), \(C\) известны. Сопротивление соединительных проводов и катушки равно нулю. Внутреннее сопротивление батареи \(r\) и сопротивление резистора \(R\) удовлетворяют соотношениям \[r \ll R, \qquad rC \ll \sqrt{LC}, \qquad RC = \sqrt{2LC}.\] Изначально переключатель П находится в положении 1, при этом в цепи установился стационарный режим. Напряжение на конденсаторе, соединённом с клеммой 2, равно нулю. В момент времени \(t = 0\) переключатель мгновенно переводят в положение 2.

a) (6 баллов) Определите, в какой момент времени \(t_L\) ток через катушку впервые изменит направление.

b) (2 балла) Какое количество теплоты \(Q\) выделится в цепи за очень большое время после перевода ключа в положение 2.

Заряженный конденсатор ёмкостью \(C\), электростатическая энергия которого равна \(W\), начинает разряжаться через две соединённые параллельно катушки индуктивностями \(L\) и \(2L\). Какой будет максимальная энергия катушки индуктивностью \(L\) в процессе возникающих колебаний? Сопротивлением электрической цепи пренебречь.

На рисунке изображена простейшая модельная схема подключения электродвигателя (автомобильного стартёра) к аккумулятору.

Параметр схемы \(R_\text{М} = 2\cdot 10^{-2}\) Ом моделирует сопротивление обмоток якоря двигателя, \(r\) и \(R_0\) — внутреннее сопротивление аккумулятора с ЭДС \(U_0 = 12\) В и сопротивление проводов, при этом \(R_0 + r = 10^{-2}\) Ом. Можно считать, что ЭДС индукции, вырабатываемая электродвигателем, пропорциональна угловой скорости вращения вала \(|\mathcal{E}_i| = k\omega\), а момент сил, действующих на вал со стороны магнитного поля, пропорционален току \(M = kI\). Для упрощения расчётов далее полагаем, что вал электродвигателя не нагружен.

1. Найдите напряжение \(U_{AB}\) на клеммах электродвигателя (между т. \(A\) и т. \(B\)) сразу после замыкания ключа, а также максимальное значение силы тока в цепи. Чему равен ток в момент, когда угловая скорость вращения вала составляет 75% от максимального значения? (3 балла)

Другая модельная схема (рис. ниже) учитывает наличие в конструкции удерживающей обмотки втягивающего реле, \(R_l\) — сопротивление катушки индуктивностью \(l\). При включении сначала замыкается ключ \(K_1\), а когда ток через катушку установится, замыкается ключ \(K_2\).

2. Считая, что отношение \(\alpha = \dfrac{R_l}{r+R_0}\) известно (\(\alpha > 1\)), определите максимальное значение тока через двигатель в этом случае. (4 балла)

3. При выключении электродвигателя (после того, как скорость вращения вала установится) сначала размыкают ключ \(K_1\). При этом напряжение на клеммах двигателя почти мгновенно увеличивается на \(\Delta U_{AB} = 2\) В. Определите по этим данным параметр \(\alpha\). (3 балла)

Наиболее близка к реальному устройству схема, изображённая на третьем рисунке. Ключи изначально разомкнуты. Поворот ключа зажигания соответствует замыканию ключа \(K_1\). Когда ток через катушку \(L\) достигает некоторого порогового значения \(I_\text{П}\) замыкается ключ \(K_2\) (магнитное поле катушки втягивает шток, замыкающий контакты ключа \(K_2\)).

4. Индуктивность второй катушки \(L\) и её сопротивление \(R_L\) таковы, что выполняются равенства: \(L = 10l\), \(R_l = 5R_L\). Известно, что значение тока \(I_\text{П}\) лежит между 10 А и 20 А. Чему равен ток через катушку индуктивности \(l\) в момент замыкания ключа \(K_2\)? Численное значение параметра \(\alpha\) считайте известным из п. 3). (2 балла)

В фонаре Фарадея аккумулятор заряжается благодаря подвижному магниту, периодически пролетающему через катушку индуктивности. Чтобы фонарь заряжался, его нужно трясти в руке, чтобы магнит быстро летал туда-сюда сквозь катушку. На рис. ниже показана упрощённая схема фонаря. ЭДС аккумулятора равна \(\mathcal{E} = 3{,}6\) В. Катушка состоит из \(n = 3000\) витков проволоки, её внутренний радиус чуть больше радиуса магнита, индуктивность и активное сопротивление равны: \(L = 0{,}1\) Гн и \(R = 50\) Ом соответственно. Диаметр цилиндрического магнита и его длина равны: \(d = 15\) мм и \(h = 23\) мм. Длина катушки равна длине магнита \(h\).

Пусть фонарь трясут с частотой \(\nu = 4\) Гц. Магнит движется в пластиковой трубке длиной \(H = 12{,}3\) см. Для оценок, которые требуется сделать в этой задаче, предлагается считать, что магнит в трубке совершает гармонические колебания с амплитудой \(0{,}5(H - h)\), диоды — идеальные, внутреннее сопротивление аккумулятора и проводов много меньше сопротивления катушки \(R\).

A. Вычислите приближённо максимальную ЭДС индукции и максимальную ЭДС самоиндукции в катушке (по модулю). Найдите отношение этих величин. Убедитесь, что одна из них много больше другой.

B. Какое примерно число раз магнит должен пролететь сквозь катушку, чтобы в аккумуляторе накопилась энергия \(E = 50\) Дж?

C. Определите приближённо отношение времени зарядки (тряски) ко времени работы без тряски, если потребляемая светодиодом от аккумулятора мощность равна \(P = 0{,}5\) Вт.

Плавкий предохранитель — это одноразовый защитный элемент. Его современной многоразовой альтернативой является самовосстанавливающийся предохранитель (известный также под названием Polyswitch).

В основе устройства лежит полимерный материал с проводящими вкраплениями. При достижении критической температуры \(T_{\text{пл}}\) в материале происходит фазовый переход: проводящие пути разрушаются, и электрическое сопротивление устройства резко возрастает. При остывании материала ниже \(T_{\text{пл}}\) структура проводящих путей восстанавливается, и сопротивление возвращается к исходному низкому значению.

Поведение некоторого самовосстанавливающегося предохранителя предлагается описывать с помощью следующей упрощённой модели. При температуре ниже критической температуры \(T_{\text{пл}} = 120\,^\circ\text{C}\) его сопротивление постоянно и равно \(R_1 = 1\) Ом. При \(T_{\text{пл}}\) оно скачкообразно увеличивается до \(R_2 = 10\) кОм и при дальнейшем нагреве не меняется. В самой точке фазового перехода (при \(T = T_{\text{пл}}\)) сопротивление может принимать любые промежуточные значения в диапазоне от 1 Ом до 10 кОм.

Считайте, что мощность теплоотдачи от предохранителя в окружающую среду описывается соотношением \[P = \alpha (T - T_0),\] где \(\alpha = 10\) мВт\(/^\circ\)C — коэффициент теплоотдачи, \(T_0 = 20\,^\circ\text{C}\) — температура окружающей среды, \(T\) — температура предохранителя.

1. Изобразите статическую вольт-амперную характеристику (ВАХ) предохранителя, считая, что в любой точке ВАХ он находится в установившемся тепловом режиме.

2. Пусть предохранитель подключён к идеальному источнику с ЭДС \(\mathcal{E} = 10\) В последовательно с реостатом, сопротивление которого может меняться от 0 до 50 Ом, и катушкой индуктивности \(L\). Считайте, что индуктивность катушки достаточно велика, так что тепловой баланс в предохранителе устанавливается гораздо быстрее, чем меняется ток. Это позволяет описывать состояние предохранителя его статической ВАХ в любой момент времени

   Сколько рабочих точек теоретически может реализоваться в цепи при различных значениях сопротивления реостата? Какие из этих точек являются устойчивыми относительно флуктуаций тока в цепи?

   Рабочая точка считается устойчивой по току, если при малом отклонении тока от значения в рабочей точке возникающая в катушке ЭДС самоиндукции стремится вернуть цепь в исходное состояние.

3. Теперь рассмотрим реальную цепь. Предохранитель подключили через ключ последовательно с резистором \(R\) к двум соединённым последовательно батарейкам 3R12 (ЭДС каждой \(\mathcal{E} = 4{,}5\) В, внутреннее сопротивление \(r = 1\) Ом). Какой ток установится в цепи после замыкания ключа, если \(R = 7\) Ом?

   Опишите качественно процессы, происходящие в цепи после замыкания ключа, если сопротивление резистора равно \(R = 2\) Ом. Учтите, что в этом случае ток может изменяться настолько быстро, что температура предохранителя не будет успевать подстраиваться под текущее значение мощности.