Подкрашенная жидкость в трубочке

Сравнивайте давления у нижнего конца трубочки изнутри и снаружи: вытекание или втекание прекращается, когда они сравняются. Следите, чем заполнена трубочка на каждом этапе.

В первый раз вытечет масса \(m_1=S\,(\varrho_2-\varrho_1)(H+l)\). За каждый следующий цикл втекает масса лёгкой жидкости \(S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1)\) и вытекает такая же масса тяжёлой: \(S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1)\).

Что происходит. Пока трубочка заполнена тяжёлой жидкостью, давление у её нижнего конца изнутри больше, чем снаружи на той же глубине: столб тяжёлой жидкости весит больше столба лёгкой. Тяжёлая жидкость вытекает, уровень в малом сосуде опускается, давление изнутри падает, и вытекание прекращается, когда давления сравнялись. Тогда у выхода трубочки тяжёлая жидкость стоит над лёгкой — положение неустойчивое, и лёгкая жидкость входит в трубочку и всплывает в малый сосуд. Теперь трубочка заполнена лёгкой жидкостью, давление изнутри стало меньше, чем снаружи, лёгкая жидкость втекает, пока давления снова не сравняются, а затем тяжёлая опять заполняет трубочку, и всё повторяется. Главная идея — на каждом этапе уравнять давления у нижнего конца трубочки.

Обозначения. \(h\) — высота столба тяжёлой жидкости в малом сосуде над его дном, \(a\) — толщина слоя лёгкой жидкости, плавающего над ней (вначале \(a=0\), \(h=H\)). Объёмом самой тонкой трубочки пренебрегаем. Атмосферное давление действует сверху на обе поверхности и сокращается. Течения медленные, поэтому в конце каждого этапа жидкость у выхода трубочки покоится и давления там равны.

На рисунке показаны четыре состояния: 1) начало; 2) после первого вытекания; 3) после первого втекания; 4) после второго вытекания. На рисунке \(\varrho_1=1\), \(\varrho_2=1{,}5\), \(H=2\), \(l=1\) в условных единицах.

1. Давление у нижнего конца трубочки. Снаружи на глубине \(H+l\) под поверхностью лёгкой жидкости давление равно \(p_0+g\varrho_1(H+l)\). Внутри оно равно давлению столбов над концом трубочки: слой лёгкой жидкости, столб тяжёлой и сама трубочка: \[p_{\text{внутри}}=p_0+g\left(\varrho_1 a+\varrho_2 h+\varrho_{\text{тр}}\, l\right),\] где \(\varrho_{\text{тр}}\) — плотность жидкости, которой заполнена трубочка: \(\varrho_2\) при вытекании и \(\varrho_1\) при втекании. Введём величину \(\Phi=\varrho_1 a+\varrho_2 h\) — давление жидкостей малого сосуда у его дна, делённое на \(g\).

2. Первое вытекание. Трубочка заполнена тяжёлой жидкостью, \(a=0\). Вытекание прекращается при равенстве давлений: \[\varrho_2\,(h_1+l)=\varrho_1\,(H+l)\quad\Rightarrow\quad h_1=\frac{\varrho_1}{\varrho_2}(H+l)-l .\] Уровень тяжёлой жидкости опустился на \(H-h_1=(H+l)\,\dfrac{\varrho_2-\varrho_1}{\varrho_2}\). Масса вытекшей жидкости \[m_1=\varrho_2 S\,(H-h_1)=S\,(\varrho_2-\varrho_1)(H+l).\] Мы предполагаем \(\varrho_2 l<\varrho_1(H+l)\), иначе \(h_1<0\) и вся тяжёлая жидкость вытекла бы сразу.

3. Первое втекание. Лёгкая жидкость заполняет трубочку, и теперь в ней \(\varrho_{\text{тр}}=\varrho_1\). Тяжёлая жидкость остаётся на высоте \(h_1\), а слой лёгкой растёт, пока давления снова не сравняются: \[\varrho_1 a_1+\varrho_2 h_1+\varrho_1 l=\varrho_1(H+l)\quad\Rightarrow\quad \varrho_1 a_1=\varrho_1 H-\varrho_2 h_1 .\] Подставим \(\varrho_2 h_1=\varrho_1(H+l)-\varrho_2 l\) из пункта 2: \[\varrho_1 a_1=(\varrho_2-\varrho_1)\,l ,\qquad m_{\text{л}}=\varrho_1 S a_1=S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1).\] Теперь \(\Phi=\varrho_1 H\).

4. Второе вытекание и дальше. Тяжёлая жидкость снова заполняет трубочку, \(\varrho_{\text{тр}}=\varrho_2\), а слой лёгкой жидкости остаётся прежним. Вытекание идёт, пока \(\Phi+\varrho_2 l=\varrho_1(H+l)\), то есть \(\Phi\) уменьшится до \(\varrho_1 H-(\varrho_2-\varrho_1)\,l\). Убывает только \(\varrho_2 h\), поэтому \[\varrho_2 S\,\Delta h=S\,(\varrho_2-\varrho_1)\,l ,\] то есть вытекает масса \(S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1)\). Следующее втекание снова поднимает \(\Phi\) ровно на \((\varrho_2-\varrho_1)\,l\) за счёт слоя лёгкой жидкости, так что цикл повторяется без изменений: за цикл втекает и вытекает по \(S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1)\) (масса одна и та же, объёмы разные). На графике \(\Phi\) по этапам видно, что после первого большого спада \(\Delta_1=(\varrho_2-\varrho_1)(H+l)\) величина колеблется между двумя значениями с размахом \(\Delta=(\varrho_2-\varrho_1)\,l\).

Обратите внимание: уровень в малом сосуде после втекания остаётся ниже уровня снаружи, так как из \(\varrho_1 a+\varrho_2 h=\varrho_1 H\) и \(\varrho_2>\varrho_1\) следует \(a+h<H\). Поэтому сосуд не переполняется, а процесс идёт, пока в нём остаётся тяжёлая жидкость.

Проверка. Размерность: \(S\,l\,\varrho\) — площадь на длину на плотность, то есть масса. При \(\varrho_2\to\varrho_1\) все массы стремятся к нулю: нет разности весов столбов — нет движения. В первый раз вытекает больше, чем в следующие: \(m_1/m=(H+l)/l>1\); в первый раз «перекладывается» вся разность столбов высотой \(H+l\), а в каждом цикле — только разность весов столба тяжёлой и столба лёгкой жидкости в трубочке длиной \(l\).

Ответ: \(m_1=S\,(\varrho_2-\varrho_1)(H+l)\); за каждый следующий цикл \(m_{\text{л}}=m_{\text{т}}=S\,l\,(\varrho_2-\varrho_1)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.