Сообщающиеся цилиндры с пружиной

Объём воды сохраняется: сколько прибыло в одном цилиндре, столько убыло в другом. Доливание воды можно заменить сдвигом точки подвеса пружины с последующим возвратом.

Из условия задачи вытекает, что объём воды в левом цилиндре увеличился на \(S_1\alpha_1 a\), на такую же величину должен уменьшиться объём и в правом цилиндре; отсюда \[S_1\alpha_1 a = S_2\alpha_2 a,\quad\text{и}\quad S_2 = \dfrac{S_1\alpha_1}{\alpha_2}.\] Добавление воды в левый цилиндр можно провести в два этапа. Сначала дольём в левый цилиндр объём \(V\) воды и поднимем точку подвеса пружины на расстояние \(V/(S_1 + S_2)\). Тогда равновесие в системе не нарушится, и поршень также поднимется на такое же расстояние. После этого вернём точку подвеса в прежнее положение, опустив её на расстояние \(V/(S_1 + S_2)\). Тогда поршень опустится на расстояние \(\alpha_2V/(S_1 + S_2)\). Общее смещение поршня равно \[b_2 = \dfrac{V(1 - \alpha_2)}{S_1 + S_2} = \dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{\alpha_2(1 - \alpha_2)}{\alpha_1 + \alpha_2}.\] Найдём жёсткость пружины \(k\). Вернём поршень в первоначальное (до наливания воды) положение, сместив его вниз на расстояние \(b_2\), а точку подвеса — вниз на расстояние \[\dfrac{b_2}{\alpha_2} = \dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}.\] Тогда пружина сожмётся по сравнению с начальной длиной на величину \(\dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\), а в левом цилиндре уровень воды будет выше на величину \(V/S_1\). Запишем условие равенства давлений: \[\dfrac{k}{S_2}\cdot\dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} = \rho g\dfrac{V}{S_1}.\] Отсюда \[k = \rho g S_2\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2} = \rho g S_1\cdot\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\cdot\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2}.\]