Доска и блоки

Доска может приподняться за правый край: сила натяжения нити тянет его вверх. Запишите условие, при котором момент силы тяжести доски относительно левого края не меньше момента силы натяжения.

Обозначим длину доски через \(l\), а силу натяжения, одинаковую вдоль всей нити, через \(T\) (см. рисунок). Ясно, что доска может подняться под действием силы \(T\), приложенной к её правому концу, в то время как левый её конец — точка \(O\) — прижимается к столу такой же по величине силой \(T\), а со стороны стола в этой точке на доску действует сила реакции опоры \(N\). Таким образом, доска останется в горизонтальном положении, если момент силы тяжести относительно точки \(O\) будет больше, чем момент силы \(T\), то есть \(m_3g(l/2) \geqslant Tl\), или \(T \leqslant m_3g/2\).

При этом сумма сил, действующих на доску по горизонтали, равна нулю, так что при движении грузов она останется неподвижной.

Уравнения движения грузов в проекции на вертикальную ось \(X\) имеют вид: \[m_1a_1 = m_1g - T,\quad m_2a_2 = m_2g - T.\] Из условия нерастяжимости нити получаем: \(a_1 = -a_2\). Отсюда \[a_1 = g - \dfrac{T}{m_1},\quad a_2 = g - \dfrac{T}{m_2},\quad T\left(\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}\right) = 2g.\] Таким образом, \(T = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g\), и искомое условие горизонтальности доски имеет вид: \[\dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g \leqslant \dfrac{m_3}{2}g,\quad\text{или}\quad m_3 \geqslant \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}.\]