Калькулятор и аккумулятор

Калькулятор можно считать резистором, сопротивление которого лежит в границах \(U_{\min}/I_{\max}\ldots U_{\max}/I_{\min}\). Выразите напряжение на нём через \(R_1\), \(R_2\) и это сопротивление.

Из текста технической документации следует, что сопротивление \(R\) калькулятора зависит от режима его работы и может колебаться в пределах \[R_{\min} = \dfrac{U_{\min}}{I_{\max}} \leqslant R \leqslant R_{\max} = \dfrac{U_{\max}}{I_{\min}}.\] В соответствии с формулами для последовательного и параллельного соединения проводников, напряжение на калькуляторе выражается через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) следующим образом: \[U = \dfrac{U_0}{R_2 + \dfrac{R_1R}{R_1 + R}}\cdot\dfrac{R_1R}{R_1 + R} = \dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R}}.\] При увеличении сопротивления \(R\) напряжение на калькуляторе \(U\) возрастает; следовательно, калькулятор будет нормально функционировать при соблюдении следующих неравенств: \[\dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R_{\min}}} \geqslant U_{\min}\quad\text{и}\quad\dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R_{\max}}} \leqslant U_{\max}.\] Эти неравенства можно переписать в виде: \[\dfrac{U_0}{U_{\max}} - 1 - \dfrac{R_2}{R_{\max}} \leqslant \dfrac{R_2}{R_1} \leqslant \dfrac{U_0}{U_{\min}} - 1 - \dfrac{R_2}{R_{\min}}.\] Для числовых данных, указанных в условии задачи, оба предела в данном неравенстве положительны; следовательно, сопротивление резистора \(R_1\) должно лежать в следующем интервале: \[\dfrac{U_{\min}R_2}{U_0 - U_{\min} - I_{\max}R_2} \leqslant R_1 \leqslant \dfrac{U_{\max}R_2}{U_0 - U_{\max} - I_{\min}R_2}.\] Подставляя в эти неравенства числовые значения, получаем: \(32{,}7\text{ Ом} \leqslant R_1 \leqslant 38{,}6\text{ Ом}\).