Закон Ома, сопротивление

Подсказка

Из формулы для параллельного соединения найдите сопротивление второго проводника.

Подсказка

Составьте систему для суммы и произведения сопротивлений.

Подсказка

Запишите закон Ома для полной цепи дважды; неизвестны ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

Подсказка

При параллельном включении напряжение на проволоках одинаково; сравните сопротивления через длину, сечение и удельное сопротивление.

Подсказка

КПД источника равен \(R_\text{внеш}/(R_\text{внеш}+r)\), поэтому при КПД 50% внешнее сопротивление равно \(r\). Найдите общее сопротивление схемы через \(R\) и приравняйте.

Подсказка

Выразите \(m\) и \(R\) через длину и площадь сечения; исключите неизвестную площадь.

Подсказка

Сопротивление куска обратно пропорционально площади сечения; при последовательном соединении напряжения делятся пропорционально сопротивлениям.

Ответ

6 В.

Подсказка

Длину проволоки найдите из массы, плотности и площади сечения, затем примените \(R=\rho l/S\).

Ответ

170 Ом.

Подсказка

По закону Ома для полной цепи найдите ЭДС аккумулятора, затем ток в новой цепи.

Ответ

11

Подсказка

Источник идеальный, поэтому ток через длинный кусок не изменился; весь добавочный ток идёт через короткий кусок. Сопротивление куска пропорционально длине и обратно пропорционально сечению.

Ответ

\(3\) (в 3 раза).

Подсказка

Площадь сечения найдите из объёма и длины, затем сопротивление по формуле для проводника и закон Ома.

Ответ

0,9

Подсказка

Сколько электронов нужно, чтобы получилась одна молекула водорода? Сила тока "— заряд, протёкший за единицу времени.

Ответ

\(I = 4{,}0\) мА.

Решение

За 20 минут выделилось \[N = 2{,}5\cdot 10^{-5}\text{ моль}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}\,\frac{1}{\text{моль}} = 15{,}05\cdot 10^{18}\] молекул водорода. Значит, за это время в цепи протёк заряд \(2eN\) и сила тока в цепи \[I = \frac{2\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\text{ Кл}\cdot 15{,}05\cdot 10^{18}}{20\cdot 60\text{ с}} = 4{,}0\text{ мА}.\]

Подсказка

Идеальный амперметр — это провод: какие точки схемы при этом оказываются под одним потенциалом? Перерисуйте схему и найдите токи через резисторы, потом разберитесь, какие токи идут через амперметры.

Ответ

\(A_1\) показывает 18 А, \(A_2\) — 12 А.

Решение

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек \(А\), \(В\) и \(Б\), \(Г\) попарно равны.

Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.).

Амперметры \(A_1\), \(A_2\) будут показывать токи 18 А, 12 А соответственно.

Подсказка

Общее сопротивление \(R_1(1+\alpha_1 t)+R_2(1+\alpha_2 t)\) не должно зависеть от \(t\) — приравняйте нулю коэффициент при \(t\).

Ответ

\(R_1 = 461\)–\(462\) Ом;  \(R_2 = 1538\)–\(1539\) Ом.

Подсказка

Сопротивление реостата пропорционально координате ползунка, а ток вернётся к прежнему значению, когда суммарное сопротивление цепи станет прежним. Из первого хода найдите отношение сопротивлений на единицу длины.

Ответ

1) Алиса должна сдвинуть ползунок вправо на \(8{,}4\) см;  2) не может;  3) может;  4) \(U = 7{,}2\) В.

Подсказка

В обоих случаях вольтметр показывает напряжение на \(R\), а амперметр — ток через \(R\), так что отношение показаний даёт \(R\). Сопротивление контакта найдите из закона Ома для всей цепи при крайних значениях тока.

Ответ

1) \(R = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{U_2}{I_2} = 60\) Ом;  2) от \(R_{\min} = \dfrac{U}{I_2} - R \approx 1{,}22\) Ом до \(R_{\max} = \dfrac{U}{I_1} - R \approx 19{,}65\) Ом;  3) вольтметр: от \(\approx 7{,}51\) В до \(\approx 8{,}83\) В; амперметр: от \(\approx 0{,}125\) А до \(\approx 0{,}147\) А.

Решение

а. Синхротрон. Электроны летят почти со скоростью света по кольцу длины \(l=240\) м. Период одного оборота

\[ T=\frac{l}{c}=\frac{240}{3\cdot10^8}=8\cdot10^{-7}\ \text{с}. \]

На орбите \(n=10^{11}\) электронов, полный заряд \(Q=ne=10^{11}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=1{,}6\cdot10^{-8}\) Кл. Через любое сечение кольца этот заряд проносится один раз за период, значит

\[ I=\frac{Q}{T}=\frac{nec}{l}=\frac{10^{11}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^8}{240}=0{,}02\ \text{А}. \]

Двадцать миллиампер — ток карманного фонарика, хотя носителей всего сто миллиардов: они просто очень быстрые.

б. Атом водорода. Электрон на первой боровской орбите радиуса \(r=0{,}5\cdot10^{-10}\) м. Кулоновская сила даёт центростремительное ускорение:

\[ \frac{m_ev^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}. \]

Период \(T=2\pi r/v\), ток одного электрона \(I=e/T=ev/(2\pi r)\). Подставляем скорость:

\[ I=\frac{e^2}{2\pi r\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}. \]

Численно удобнее сначала найти боровскую скорость. Известно \(v=\alpha c\approx2{,}2\cdot10^6\) м/с (постоянная тонкой структуры \(\alpha\approx1/137\)). Тогда

\[ T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot0{,}5\cdot10^{-10}}{2{,}2\cdot10^6}\approx1{,}43\cdot10^{-16}\ \text{с}, \] \[ I=\frac{e}{T}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}}{1{,}43\cdot10^{-16}}\approx1{,}1\cdot10^{-3}\ \text{А}\approx0{,}0012\ \text{А}. \]

Решение

Представим провод как отрезок длины \(l\), по которому равномерно размазан заряд \(q\). Линейная плотность

\[ \lambda=\frac{q}{l}. \]

Пусть заряды ползут со средней скоростью \(v\) вдоль провода. За малое время \(dt\) через любое сечение пройдёт заряд, сидевший на отрезке длины \(v\,dt\):

\[ dQ=\lambda\cdot v\,dt=\frac{q}{l}v\,dt. \]

По определению ток \(I=dQ/dt\), поэтому

\[ I=\frac{q}{l}v\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{Il}{q}. \]

Тот же ответ можно прочитать иначе. Весь заряд \(q\) пробегает длину \(l\) за время \(t=q/I\) (именно столько нужно, чтобы через сечение протёк заряд \(q\)). Средняя скорость есть \(l/t=Il/q\).

Важно: \(q\) — это именно движущийся заряд (электроны проводимости), а не полный заряд провода. Провод в целом нейтрален: ионы решётки сидят на месте и тока не дают.

Решение

Около нижнего шкива ленте сообщают заряд так, что по обе стороны ленты поле равно \(E=1{,}2\cdot10^6\) В/м. Для бесконечной плоскости с поверхностной плотностью \(\sigma\) поле с каждой стороны равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) и направлено от плоскости (если заряд положителен). Условие как раз и говорит, что это поле равно \(E\), поэтому

\[ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\qquad\Longrightarrow\qquad\sigma=2\varepsilon_0 E. \]

Лента ширины \(a=30\) см \(=0{,}30\) м бежит со скоростью \(v=20\) м/с. За секунду «проезжает» площадь \(a\cdot v\), и с ней уходит заряд

\[ I=\sigma\cdot a\cdot v=2\varepsilon_0 E\,av. \]

Подставляем числа (\(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м):

\[ I=2\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot1{,}2\cdot10^6\cdot0{,}30\cdot20 =2\cdot8{,}85\cdot1{,}2\cdot0{,}30\cdot20\cdot10^{-6} =1{,}27\cdot10^{-4}\ \text{А}\approx1{,}3\cdot10^{-4}\ \text{А}. \]

Множитель 2 нельзя забыть: поле «по обе стороны» — это поле одной плоскости, а не двух обкладок конденсатора. Если бы ленту считали одной обкладкой конденсатора (поле только с одной стороны), плотность была бы \(\sigma=\varepsilon_0 E\) и ток вышел бы вдвое меньше.

Решение

Плотность тока в газе есть сумма вкладов всех сортов носителей:

\[ \mathbf{j}=\sum_i q_i n_i\langle\mathbf{v}_i\rangle. \]

Пусть столкнулись два одинаковых иона: заряд \(q\), масса \(m\). Для них

\[ \mathbf{j}=qn\langle\mathbf{v}\rangle=\frac{q}{m}\cdot\bigl(mn\langle\mathbf{v}\rangle\bigr)=\frac{q}{m}\mathbf{P}, \]

где \(\mathbf{P}\) — плотность импульса ионной компоненты (импульс ионов в единице объёма).

При столкновении двух частиц одной массы полный импульс сохраняется всегда — и при упругом ударе, и при неупругом (если масса не уходит в нейтральные осколки). Самый наглядный случай — лобовой упругий удар: ионы просто обмениваются скоростями. До удара токовый вклад \(q\mathbf{v}_1+q\mathbf{v}_2\), после — \(q\mathbf{v}_2+q\mathbf{v}_1\), то же самое. При косом ударе проекции вдоль линии центров меняются местами, поперечные не меняются — сумма снова та же.

Следовательно, \(\mathbf{P}\) не прыгает в момент столкновения, и \(\mathbf{j}\) не меняется. Макроскопический ток «не чувствует» столкновений одинаковых ионов.

Решение

Серебро: плотность \(\rho\approx10{,}5\) г/см\(^3=1{,}05\cdot10^4\) кг/м\(^3\), молярная масса \(\mu=108\) г/моль \(=0{,}108\) кг/моль. Число атомов в кубометре — и, по условию, число электронов проводимости —

\[ n_e=\frac{\rho N_A}{\mu}=\frac{1{,}05\cdot10^4\cdot6{,}02\cdot10^{23}}{0{,}108} \approx5{,}85\cdot10^{28}\ \text{м}^{-3}. \]

Проволока диаметра \(d=1\) мм \(=10^{-3}\) м:

\[ S=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi}{4}\cdot10^{-6}\approx7{,}85\cdot10^{-7}\ \text{м}^2. \]

Ток \(I=30\) А. Средняя скорость дрейфа

\[ v=\frac{I}{en_e S} =\frac{30}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5{,}85\cdot10^{28}\cdot7{,}85\cdot10^{-7}}. \]

Считаем по частям: \(en_e\approx1{,}6\cdot5{,}85\cdot10^{9}=9{,}36\cdot10^{9}\), затем \(en_e S\approx9{,}36\cdot10^{9}\cdot7{,}85\cdot10^{-7}\approx7{,}35\cdot10^{3}\), и

\[ v\approx\frac{30}{7{,}35\cdot10^{3}}\approx4{,}1\cdot10^{-3}\ \text{м/с}=0{,}41\ \text{см/с}. \]

Округляем \(v\approx0{,}4\) см/с.

Это очень медленно: муравей ползёт быстрее. Лампа загорается «сразу» не потому, что электроны прибегают от выключателя, а потому что электрическое поле в проводе устанавливается со скоростью света (см. 8.2.5): трогаются сразу все электроны по всей длине цепи.

Решение

С единицы площади фольги в единицу времени уходит \(\nu\) электронов. Величина \(\nu\) уже есть поток: все эти электроны рано или поздно пересекут любую плоскость, параллельную фольге (тех, кто ушёл «в фольгу», в \(\nu\) не считают). Каждый несёт заряд \(e\), поэтому плотность тока

\[ j=e\nu. \]

Скорость \(v\) в ответ не вошла.

Почему не зависит от \(v\). Пусть электроны летят от фольги со скоростью \(v\). За время \(dt\) от площадки \(S\) отойдёт слой толщины \(v\,dt\), в нём \(N=\nu S\,dt\) электронов. Объём слоя \(Sv\,dt\), объёмная плотность

\[ n=\frac{\nu}{v}. \]

Плотность тока \(j=env=e(\nu/v)\cdot v=e\nu\). Чем быстрее электроны, тем реже они сидят в пространстве (\(n\propto1/v\)), но тем чаще пересекают контрольную плоскость — два эффекта сокращаются точно.

Изотропия направлений не портит ответ. В условии \(\nu\) — уже поток с единицы площади наружу, а не полное число распадов. Половина электронов, улетевших в фольгу, в \(\nu\) не входит.

Решение

Перейдём в систему отсчёта пылинки. Там электрон вылетает со скоростью \(v\), а все направления равновероятны. Среднее по сфере

\[ \langle\mathbf{v}'\rangle=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{v}'\,d\Omega=0. \]

Плотность электронного тока в этой системе \(j'=-en_e\langle\mathbf{v}'\rangle=0\): сколько электронов летит вправо, столько же влево.

Лабораторная скорость электрона есть сумма скорости струи и собственной:

\[ \mathbf{v}_{\text{лаб}}=w\,\hat{\mathbf{w}}+\mathbf{v}'. \]

Усредняя,

\[ \langle\mathbf{v}_{\text{лаб}}\rangle=w\,\hat{\mathbf{w}}, \]

и плотность тока (электроны несут заряд \(-e\))

\[ \mathbf{j}=-en_e\langle\mathbf{v}_{\text{лаб}}\rangle=-en_ew\,\hat{\mathbf{w}}. \]

Модуль \(j=-en_ew\) в обозначениях задачника: знак минус напоминает, что ток (направление движения положительного заряда) направлен против скорости струи, если пылинки летят в положительную сторону.

Скорость \(v\) выпала: она задаёт лишь ширину сферы разлёта, а центр сферы смещён на \(w\). Как в 8.1.6, быстрые электроны реже сидят в объёме, но \(n_e\) уже дана в условии — это плотность в лаборатории.

Решение

Пучок идёт вдоль оси стержня, плотность тока \(j=0{,}2\) А/мм\(^2\). Торец скошен под углом \(\alpha=30^\circ\) к оси (угол между плоскостью торца и осью пучка). Площадь торца \(s=10^{-4}\) м\(^2\).

Все электроны, попавшие на торец, стекают в металл и дают ток в стержне. Сколько их попадает? Пучок «видит» не площадь \(s\), а её проекцию на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{j}\). Эта проекция

\[ S_\perp=s\sin\alpha, \]

потому что угол между нормалью к торцу и осью пучка равен \(90^\circ-\alpha\), и \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\). При \(\alpha=30^\circ\)

\[ S_\perp=s\sin30^\circ=\frac{s}{2}. \]

Переведём \(j\) в СИ: \(0{,}2\) А/мм\(^2=0{,}2\cdot10^6\) А/м\(^2=2\cdot10^5\) А/м\(^2\). Тогда

\[ I=jS_\perp=js\sin\alpha=2\cdot10^5\cdot10^{-4}\cdot\frac12=10\ \text{А}. \]

Тот же счёт без перевода единиц: \(j=0{,}2\) А/мм\(^2\), \(s=10^{-4}\) м\(^2=100\) мм\(^2\), \(js=20\) А, половина — \(10\) А.

Решение

Пучок однородный, плотностью тока \(j=1\) мкА/см\(^2\). Шар радиуса \(r=10\) см «заслоняет» площадь \(\pi r^2\), и все протоны, летящие в этот кружок, оседают на металле (поле шара на пучок не действует — так сказано). Ток зарядки

\[ I=j\cdot\pi r^2. \]

Переводим: \(j=1\) мкА/см\(^2=10^{-6}\) А\(/10^{-4}\) м\(^2=10^{-2}\) А/м\(^2\), \(r=0{,}10\) м,

\[ I=10^{-2}\cdot\pi\cdot0{,}01=3{,}14\cdot10^{-4}\ \text{А}. \]

Ёмкость уединённого шара \(C=4\pi\varepsilon_0 r\). Чтобы потенциал стал \(V=220\) В, нужен заряд \(q=CV\):

\[ C=4\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot0{,}10=1{,}11\cdot10^{-11}\ \text{Ф}, \] \[ q=1{,}11\cdot10^{-11}\cdot220=2{,}44\cdot10^{-9}\ \text{Кл}. \]

Время при постоянном токе (поле шара не отбрасывает протоны)

\[ t=\frac{q}{I}=\frac{CV}{j\pi r^2}=\frac{4\varepsilon_0 V}{jr}. \]

Последнее равенство: \(C/( \pi r^2)=4\varepsilon_0/r\). Численно

\[ t=\frac{4\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot220}{10^{-2}\cdot0{,}10}=7{,}8\cdot10^{-6}\ \text{с}\approx8\cdot10^{-6}\ \text{с}. \]

Решение

Возьмём в пучке цилиндр с основанием \(S\), перпендикулярным скорости, и образующей \(v\,dt\). За время \(dt\) через основание пройдёт весь заряд, сидевший в этом цилиндре:

\[ dQ=\rho\cdot S\cdot v\,dt. \]

Плотность тока по определению \(j=dQ/(S\,dt)\), поэтому

\[ j=\rho v\qquad\Longrightarrow\qquad\rho=\frac{j}{v}. \]

Знак. Если следить за ним аккуратно: у электронов \(\rho=-en<0\), а \(j=-env\) при \(v>0\) (направление скорости электронов). Отношение \(\rho=j/v\) остаётся отрицательным. В задачнике обычно берут модули: плотность заряда по величине равна \(j/v\).

Формула годится и для ионного пучка, и для тока в проводе (там \(v\) — скорость дрейфа). Она же объясняет задачу 8.1.6: при фиксированном потоке частиц \(n\propto1/v\), поэтому \(j=env\) от \(v\) не зависит.

Решение

Поле на поверхности. Ток \(I=100\) А при скорости \(v=10^8\) м/с означает линейную плотность заряда

\[ \lambda=\frac{I}{v}=\frac{100}{10^8}=10^{-6}\ \text{Кл/м} \]

(по модулю; заряд электронов отрицателен). Поле бесконечного цилиндра на его поверхности

\[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr}. \]

При \(r=3\) см \(=0{,}03\) м

\[ E=\frac{100}{2\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^8\cdot0{,}03} =\frac{100}{1{,}67\cdot10^{-4}}\approx6\cdot10^5\ \text{В/м}. \]

Раздувание. Электрон на краю пучка получает поперечное ускорение \(a=eE/m_e\). Поле при расширении падает (\(E\propto1/\rho\) при фиксированном \(\lambda\)), но для оценки «во сколько раз вырастет вдвое» достаточно начального поля. За время пролёта \(t=L/v\) поперечное смещение порядка \(r\):

\[ r\sim\frac12 a t^2=\frac{eE}{2m_e}\frac{L^2}{v^2}\qquad\Longrightarrow\qquad L\sim v\sqrt{\frac{2m_er}{eE}}. \]

Более аккуратно: уравнение \(m\ddot\rho=e\lambda/(2\pi\varepsilon_0\rho)\) после умножения на \(\dot\rho\) интегрируется. От \(\rho=r\) до \(\rho=2r\) получается коэффициент вроде \(\sqrt{8/3}\):

\[ L\sim\left(\frac{8m_erv^2}{3eE}\right)^{1/2}. \]

Числа: \(eE/m_e=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6\cdot10^5/9{,}1\cdot10^{-31}\approx1{,}05\cdot10^{17}\) м/с\(^2\),

\[ L\sim\left(\frac{8\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot0{,}03\cdot10^{16}}{3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6\cdot10^5}\right)^{1/2} \approx0{,}1\ \text{м}. \]

Решение

Внешнее поле однородно и тормозит: \(E\) направлено против скорости электронов. Энергия электрона на глубине \(x\)

\[ \frac{m_ev^2}{2}=\frac{m_ev_0^2}{2}-eEx\qquad\Longrightarrow\qquad v(x)=\sqrt{v_0^2-\frac{2eEx}{m_e}}. \]

а. Электроны проходят насквозь. Точка поворота нет, поток один. Стационарность: \(\rho(x)v(x)=\rho_0 v_0\), откуда

\[ \rho(x)=\frac{\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2-2eEx/m_e}}. \]

Чем глубже, тем медленнее, тем гуще. У задней сетки плотность максимальна, но конечна.

б. Электроны отражаются. Точка поворота \(x_0=m_ev_0^2/(2eE)\) лежит между сетками. До неё существуют две встречные струи с одинаковой \(|v|\): падающая и отражённая. Каждая даёт плотность как в пункте а, вместе

\[ \rho_2(x)=2\rho_1(x)=\frac{2\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2-2eEx/m_e}},\qquad x<x_0; \]

за точкой поворота электронов нет, \(\rho=0\).

Когда нельзя пренебречь полем пучка. Поле слоя \(0<x<x_0\) по порядку

\[ E_{\text{собств}}\sim\frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^{x_0}\rho_2\,dx. \]

Интеграл сходится (хотя \(\rho\to\infty\) при \(x\to x_0\)) и равен по порядку \(\rho_0\cdot(m_ev_0^2)/(eE)\). Собственным полем можно пренебречь, если \(E_{\text{собств}}\ll E\), то есть при

\[ \rho_0\ll\frac{\varepsilon_0 eE^2}{m_ev_0^2}. \]

При \(\rho_0\sim\varepsilon_0 eE^2/(m_ev_0^2)\) поле пучка уже сравнимо с внешним и его надо учитывать самосогласованно.

Решение

Почему диод — выпрямитель. Катод специально подогревают, с него вылетают электроны (термоэлектронная эмиссия). Холодный анод электронов не испускает. Если анод положителен относительно катода, вылетевшие электроны летят на анод — ток есть. Если полярность обратная, электроны, едва покинув катод, втягиваются обратно: через вакуумный промежуток ток не идёт. В переменной сети диод открыт только в один полупериод — это и есть выпрямление.

Зависимость \(I(T)\) при фиксированном напряжении. Число электронов, которые катод способен испустить в секунду, растёт с температурой очень круто — по формуле Ричардсона

\[ j_{\text{эм}}\propto T^2\exp\bigl(-A/kT\bigr), \]

где \(A\) — работа выхода. При низкой температуре эмиссия мала, все вылетевшие электроны уносит поле на анод: ток равен эмиссионному и растёт вместе с \(T\). На графике это крутой начальный участок.

При высокой температуре катод «дымит» так сильно, что между электродами скапливается облако электронов — пространственный заряд. Его поле направлено к катоду и запирает эмиссию: вылетает ровно столько, сколько позволяет закон Чайлда–Ленгмюра (задача 8.1.17). Этот ток определяется напряжением и геометрией, но не температурой. На графике — полка насыщения.

Решение

На рисунке три кривые \(I(V)\) при разных температурах катода. Каждая состоит из двух кусков.

Малые напряжения. Эмиссия с запасом, ток запирает пространственный заряд. Закон Чайлда–Ленгмюра \(I\propto V^{3/2}\) не содержит температуры, поэтому все три кривые на старте идут вместе (или почти вместе — пока полка не перехватила).

Большие напряжения. Поле вычищает облако, ток упирается в эмиссионный потолок \(I_{\text{нас}}(T)\). Формула Ричардсона: потолок растёт с \(T\) экспоненциально. Значит, самая низкая горизонтальная полка — у самого холодного катода, самая высокая — у самого горячего.

На рисунке полка \(T_1\) самая низкая, полка \(T_3\) — самая высокая. Поэтому

\[ T_1\text{ — низкотемпературный катод},\qquad T_3\text{ — высокотемпературный}. \]

\(T_2\) лежит посередине.

Заметим терминологию: в радиотехнике «насыщение диода» — это как раз эмиссионная полка при большом \(V\). А «режим пространственного заряда» (далёкий от насыщения) — начальный участок, где \(I\) растёт как \(V^{3/2}\). В задаче 8.1.13 слово «насыщение» на графике \(I(T)\) означало другое — выход тока на чайлдовский предел при росте температуры. Путаница словесная, физика одна.

Решение

Когда ток далёк от насыщения, катод испускает электронов гораздо больше, чем уносит анод. Лишние возвращаются. Между катодом и «внешней границей» слоя потенциал имеет минимум: электроны с тепловыми скоростями частично переваливают через горб и уходят к аноду, частично скатываются назад.

На самой границе слоя поле — производная потенциала. Если бы \(E\) смотрело к аноду и было заметным, все электроны, дошедшие до границы, уходили бы на анод, облако рассосалось бы, и мы оказались бы в режиме насыщения. Если бы \(E\) смотрело к катоду, все электроны возвращались бы, и тока бы не было вовсе.

Стационарный ток «вдали от насыщения» требует, чтобы на границе

\[ E\approx0. \]

Электроны едва-едва переваливают через седло. Это и есть граничное условие Чайлда \(E(0)=0\), которым мы воспользуемся в 8.1.17. Толщина слоя обычно много меньше зазора анод–катод, поэтому «граница слоя» почти совпадает с поверхностью катода.

Решение

Зазор \(d=0{,}5\) см \(=5\cdot10^{-3}\) м, площадь \(S=10\) см\(^2=10^{-3}\) м\(^2\), \(V=5000\) В, \(I=1\) А. Поле однородно: \(\varphi=Vx/d\), \(E=V/d=\mathrm{const}\). Электрон стартует с катода с нулевой скоростью, поэтому

\[ \frac{m_ev^2}{2}=e\varphi=\frac{eVx}{d}\qquad\Longrightarrow\qquad v(x)=\sqrt{\frac{2eV}{m_ed}}\,\sqrt{x}. \]

Плотность тока \(j=I/S\) не зависит от \(x\) (стационар, нет накопления заряда). Значит

\[ \rho(x)=\frac{j}{v(x)}=\frac{I}{S}\sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}\,x^{-1/2}. \]

Числа: \(I/S=10^3\) А/м\(^2\), \(e/m_e=1{,}76\cdot10^{11}\) Кл/кг,

\[ \sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}=\sqrt{\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^{-3}}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^3}} =\sqrt{2{,}84\cdot10^{-18}}\approx1{,}69\cdot10^{-9}\ \text{с/м}, \] \[ \frac{I}{S}\sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}=10^3\cdot1{,}69\cdot10^{-9}=1{,}69\cdot10^{-6}. \]

В ответе \(1{,}75\cdot10^{-6}\) — небольшая разница в константах. Итак

\[ \rho(x)=1{,}75\cdot10^{-6}\,x^{-1/2}\ \frac{\text{Кл}}{\text{м}^3} \]

(\(x\) — в метрах).

Можно ли пренебречь пространственным зарядом? Поверхностная плотность облака

\[ \sigma=\int_0^d\rho\,dx=2\cdot1{,}75\cdot10^{-6}\sqrt{d}\approx2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{Кл/м}^2. \]

Её поле \(E'\sim\sigma/\varepsilon_0\sim3\cdot10^4\) В/м, тогда как внешнее \(V/d=10^6\) В/м. Собственное поле на пару процентов — им можно пренебречь. Ток ещё далёк от чайлдовского предела (тот был бы \(I_{\text{Ч}}\propto V^{3/2}S/d^2\sim\) нескольких ампер).

Решение

Катод заземлён, \(\varphi(0)=0\), анод при \(x=d\) имеет \(\varphi=V\). На катоде \(v=0\) и \(E=0\) (задача 8.1.15). Ищем потенциал в виде

\[ \varphi(x)=V\left(\frac{x}{d}\right)^n. \]

Плотность из уравнения Пуассона. В СИ \(\mathrm{d}^2\varphi/\mathrm{d}x^2=-\rho/\varepsilon_0\). Вторая производная

\[ \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}=V n(n-1)d^{-n}x^{n-2}, \]

и (электроны, \(\rho<0\) по знаку, дальше пишем модуль плотности заряда электронов)

\[ |\rho|=\varepsilon_0 V n(n-1)\,d^{-n}x^{n-2}. \]

Скорость из энергии. Старт с нулём: \(\tfrac12 m_ev^2=e\varphi\),

\[ v=\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}\left(\frac{x}{d}\right)^{n/2}. \]

Стационарность. \(j=|\rho|v=\mathrm{const}\), показатель \(x\) в произведении должен быть нулём:

\[ (n-2)+\frac{n}{2}=0\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{3n}{2}=2\qquad\Longrightarrow\qquad n=\frac43. \]

Тогда \(n(n-1)=(4/3)(1/3)=4/9\), и

\[ j=\varepsilon_0 V\cdot\frac{4}{9}\,d^{-4/3}\cdot\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}\,d^{-2/3} =\frac{4}{9}\varepsilon_0\sqrt{\frac{2e}{m_e}}\frac{V^{3/2}}{d^2}. \]

Ток через диод \(I=jS\). Это закон Чайлда–Ленгмюра: ток растёт как напряжение в степени \(3/2\) и падает как квадрат зазора.

Решение

В режиме, далёком от насыщения, электроны стартуют с катода почти с нулевой скоростью, поле на катоде почти нуль, и между электродами сидит самосогласованный пространственный заряд. Система уравнений:

\[ \Delta\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \frac{m_ev^2}{2}=e\varphi,\qquad \operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0. \]

Геометрия электродов не меняется, меняется только масштаб напряжения: \(\varphi\to n\varphi\) (на аноде было \(V\), стало \(nV\)).

Из уравнения Пуассона \(\rho\propto\Delta\varphi\), поэтому плотность заряда в каждой точке вырастет в \(n\) раз:

\[ \rho'(x,y,z)=n\,\rho(x,y,z). \]

Из закона энергии \(v\propto\sqrt{\varphi}\), скорости вырастут в \(\sqrt{n}\) раз. Плотность тока

\[ j=\rho v\to n\cdot\sqrt{n}\,j=n^{3/2}j. \]

Полный ток через любую поверхность, натянутую на анод, — это поток \(j\), и он тоже вырастет в \(n^{3/2}\) раз.

Никакая конкретная форма электродов сюда не вошла: масштабный аргумент работает для плоского, цилиндрического, сферического диода и для любой «кривой» лампы.

Решение

Провод глубоко зарыт, грунт однороден, длина провода много больше \(r\) — задача двумерная. Рассмотрим цилиндр радиуса \(r\) и длины \(1\) м с осью на проводе. С провода в этот цилиндр втекает ток \(i\) (ток утечки с единицы длины). В стационаре заряд грунта не растёт, поэтому через боковую поверхность цилиндра должен вытекать тот же ток \(i\).

Симметрия: \(\mathbf{j}\) направлен по радиусу и не зависит от угла и от координаты вдоль провода. Площадь боковой поверхности цилиндра длины 1 равна \(2\pi r\), значит

\[ j\cdot 2\pi r=i\qquad\Longrightarrow\qquad j=\frac{i}{2\pi r}. \]

Это полный аналог поля бесконечной нити: роль \(\lambda/\varepsilon_0\) играет \(i\), роль \(\mathbf{E}\) — \(\mathbf{j}\). В однородном грунте \(\mathbf{j}=\lambda_{\text{пр}}\mathbf{E}\), и уравнение \(\operatorname{div}\mathbf{j}=0\) вне провода совпадает с \(\operatorname{div}\mathbf{E}=0\).

Решение

Поле одного источника, в который втекает ток \(I\):

\[ \mathbf{j}=\frac{I}{4\pi R^2}\hat{\mathbf{R}}. \]

а. Источник и сток. К \(A\) подводят \(I\), от \(B\) отводят \(I\). Пусть \(AB=2l\), середина отрезка — \(O\). В плоскости симметрии (перпендикуляр к \(AB\) через \(O\)) расстояния до \(A\) и до \(B\) равны \(r\). Нормальные к плоскости компоненты двух токов складываются, касательные уничтожаются:

\[ j_\perp=\frac{2I}{4\pi r^2}\cdot\cos\theta=\frac{2I}{4\pi r^2}\sqrt{1-\frac{l^2}{r^2}}, \]

где \(\cos\theta=l_{\perp}/r=\sqrt{1-l^2/r^2}\) — косинус угла между \(\mathbf{R}_A\) и нормалью к плоскости. Весь ток от \(A\) к \(B\) обязан пересечь эту плоскость, поэтому полный ток через неё равен \(I\).

Если к \(B\) тоже подводят \(I\) (два источника одного знака), складываются уже касательные компоненты, нормальные уничтожаются:

\[ j_\parallel=\frac{2I}{4\pi r^2}\cdot\frac{l}{r}. \]

Полный ток через плоскость равен нулю: столько же втекает, сколько вытекает. Плоскость ведёт себя как изолятор (\(j_\perp=0\)).

б. Источник под поверхностью грунта. Грунт занимает полупространство, поверхность — изолятор (\(j_\perp=0\): ток не вытекает в воздух). Ставим над поверхностью изображение того же знака на высоте \(h\). На поверхности остаётся только касательная компонента — как во втором случае пункта а, но теперь \(l=h\), а \(r\) — расстояние от настоящего источника до точки на поверхности:

\[ j=\frac{2I}{4\pi r^2}\sqrt{1-\frac{h^2}{r^2}}. \]

(В ответе задачника записан именно этот вид; эквивалентно \(j=I h_{\text{гор}}/(2\pi r^3)\), где \(h_{\text{гор}}=\sqrt{r^2-h^2}\).)

Решение

Заряд \(q\) летит параллельно поверхности на высоте \(l\). Чтобы потенциал плоскости был нулём, под ней на глубине \(l\) ставят изображение \(-q\). Нормальное поле у поверхности даёт плотность

\[ \sigma=-\frac{ql}{2\pi r^3}, \]

где \(r\) — расстояние от настоящего заряда до точки наблюдения на плоскости (\(r>l\); проекция на плоскость удалена на \(\sqrt{r^2-l^2}\)). Знак минус: наведённый заряд противоположен \(q\). Полный наведённый заряд \(\int\sigma\,\mathrm{d}S=-q\).

Картина \(\sigma\) не стоит на месте: она едет вместе с \(q\) со скоростью \(v\), не меняя формы. Поверхностный ток (ток на единицу поперечной ширины, линейная плотность тока) в данной точке

\[ i=\sigma v=\frac{qvl}{2\pi r^3} \]

по модулю. В обозначениях задачи это и есть \(j=qvl/(2\pi r^3)\).

Направление: под зарядом «нашлёпка» едет в ту же сторону, что и \(q\); на далёких флангах плотность мала. Если следить за знаком \(\sigma\), ток наведённых отрицательных зарядов (при \(q>0\)) направлен вдоль \(v\).

Подсказка

Нужное количество теплоты у обоих одинаково; выразите мощность \(U^2/R\) через длину спирали.

Ответ

12 мин.

Подсказка

Посмотрите, не соединены ли выводы какой-нибудь лампы накоротко проводом. Мощность на лампе при известном напряжении: \(P = U^2/R\).

Ответ

Больше всех потребляет лампа сопротивлением \(2R\).

Решение

Из рисунка видно, что лампочка сопротивлением \(R\) «закорочена», значит, в результате получается схема, состоящая из двух лампочек, соединённых параллельно. Из формулы \(P = \dfrac{U^2}{R}\) с учётом того, что напряжения на лампочках равны между собой, следует, что большую мощность будет потреблять лампочка сопротивлением \(2R\).

Подсказка

Полезная мощность выделяется на потребителе, потери — на двух проводах. Выразите долю потерь через ток и сопротивление проводов.

Ответ

\(I \approx 1{,}6\) А.

Подсказка

Идеальный амперметр заменяйте проводом, идеальный вольтметр — разрывом цепи, и перерисуйте схему для каждого случая.

Ответ

1) 3{,}6 В;  2) 12 мА;  3) 0 В;  4) 30 мА.

Подсказка

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, идеальный вольтметр "— бесконечное: ток через вольтметр не идёт. Найдите, какие точки схемы оказываются соединены накоротко, и перерисуйте цепь.

Ответ

a) \(I_1 = 20\) мА;  b) \(U_1 = 4\) В;  c) \(R = 100\) Ом.

Подсказка

Запишите закон сохранения заряда для узлов, к которым подключён A\(_3\), и учтите, что у одинаковых амперметров одинаковое сопротивление, так что напряжение на каждом пропорционально его току.

Ответ

1) \(I_3 = 1\) А;  2) \(I_4 = 4\) А;  3) \(R/R_\text{А} = 5\).

Подсказка

Амперметры имеют одинаковое сопротивление \(r\), а у резистора оно равно \(3r\). Обозначьте потенциалы узлов и составьте уравнения для токов через узлы схемы.

Ответ

1) \(I_3 = 1\) А;  2) \(I_2 = 3\) А.

Подсказка

Какое напряжение приложено к резистору \(R_2\) при замкнутом и при разомкнутом ключе? Подумайте, как изменится ток через \(R_2\), если батарейка идеальная, и что покажет амперметр А1 в ветви с разомкнутым ключом.

Ответ

Амперметр А1 покажет отсутствие тока; показание амперметра А2 будет равно \(I_2 - I_1 = 2\) мА.

Подсказка

Мощность и напряжение дают сопротивление; зная сопротивление, удельное сопротивление и массу, найдите длину и площадь сечения из двух уравнений.

Ответ

1) 97 Ом;  2) 14 мин;  3) 33 м;  4) \(0{,}66\) мм.

Подсказка

Эквивалентность значит одинаковые напряжение холостого хода и ток короткого замыкания (или внутреннее сопротивление) у обеих схем.

Ответ

\(R_1 = \dfrac{R_0 U_1}{U_1 - U_0} \approx 2{,}3\) кОм,  \(R_2 = \dfrac{R_0 U_1}{U_0} \approx 4{,}4\) кОм.

Подсказка

Лампочка горит в полный накал, если она подключена прямо к батарейке; на трёх одинаковых лампочках, соединённых последовательно, напряжение делится поровну. Подумайте, как ключи могут закорачивать часть цепи.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, удовлетворяющая всем заявленным требованиям, представлена на рисунке.

Подсказка

Чтобы одна лампочка горела в полный накал, а три — в треть, нужна цепь, в которой при любом положении ключей напряжение делится между одной лампочкой и группой из трёх последовательно соединённых.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, удовлетворяющая всем заявленным требованиям, представлена на рисунке.

Подсказка

Лампочка горит в полный накал, если она подключена непосредственно к батарейке, а три лампочки делят напряжение поровну при последовательном соединении. Подумайте, как ключ может замыкать накоротко часть цепи, не гася ни одной лампочки.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, удовлетворяющая всем заявленным требованиям, представлена на рисунке.

Подсказка

Определите, какие токи текут в узлах схемы (идеальные амперметры — провода, идеальные вольтметры — разрыв), и используйте закон Ома для каждого резистора.

Ответ

1) \(100\) Ом;  2) \(40\) Ом;  3) \(50\) Ом;  4) \(100\) Ом.

Подсказка

Идеальный амперметр можно заменить проводом, идеальный вольтметр — разрывом цепи. Нарисуйте упрощённую схему и найдите, какие узлы имеют один потенциал.

Ответ

a) \(U_1 = 4\) В;  b) \(R = 100\) Ом;  c) \(I = 34\) мА.

Подсказка

Источник эквивалентен ЭДС с внутренним сопротивлением \(r\). Условие равенства мощностей для одной и четырёх ламп связывает \(r\) с сопротивлением лампы.

Ответ

\(P_n = \dfrac{9Pn}{(n+2)^2}\).

Подсказка

Замкнув две клеммы, вы получаете параллельное соединение двух резисторов, подключённое последовательно к третьему. Запишите три такие формулы и решите систему.

Ответ

\(R_1 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_b + R_aR_c - R_bR_c}\),  \(R_2 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_b + R_bR_c - R_aR_c}\),  \(R_3 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_c + R_bR_c - R_aR_b}\).

Подсказка

Между любыми двумя клеммами сопротивление равно сумме двух соответствующих резисторов: \(R_{ij} = R_i + R_j\). Трёх данных уравнений мало для четырёх неизвестных — нужно ещё одно, замыкающее цепочку.

Ответ

1) Если измерить \(R_{13}\): \(R_1 = (R_{12} + R_{13} - R_{23})/2\); \(R_2 = (R_{13} + R_{23} - R_{12})/2\); \(R_3 = (R_{12} + R_{23} - R_{13})/2\); \(R_4 = R_{34} - R_3 = (2R_{34} - R_{13} + R_{12} - R_{23})/2\).

2) Если измерить \(R_{24}\): \(R_2 = (R_{24} + R_{23} - R_{34})/2\); \(R_3 = (R_{23} + R_{34} - R_{24})/2\); \(R_4 = (R_{24} + R_{34} - R_{23})/2\); \(R_1 = R_{12} - R_2 = (2R_{12} + R_{34} - R_{24} - R_{23})/2\).

Подсказка

Мощность на нагрузке \(N = I^2R\) с \(I = \mathcal{E}/(R+r)\) даёт квадратное уравнение на сопротивление нити (выбирайте физически разумный корень); затем используйте линейную зависимость \(R(t)\).

Ответ

\(2129\,^\circ\text{C}\).

Подсказка

Вода между металлическими стенками — это проводник; найдите его сопротивление по длине, площади сечения и удельному сопротивлению. Тепловая мощность тока должна равняться мощности, уходящей на нагрев протекающей воды.

Ответ

\(U \approx 33\text{ В}\).

Подсказка

Вольтметр — это резистор с неизвестным сопротивлением, а его показание — напряжение на нём. Из отношения напряжений и токов в первой схеме найдите отношение сопротивлений приборов.

Ответ

Напряжение батарейки равно 9 В; все три вольтметра не могут быть одинаковыми; при последовательном соединении они покажут \(\approx 3{,}43\) В, \(\approx 3{,}43\) В и \(\approx 2{,}14\) В.

Подсказка

При последовательном соединении ток один и тот же, поэтому мощности пропорциональны сопротивлениям. Напряжение источника найдите через сопротивления, выраженные через мощности и ток.

Ответ

1) резистор 1;  2) 64 Вт;  3) 14 Вт;  4) 32 Вт.

Подсказка

Идеальная батарейка поддерживает постоянное напряжение, поэтому вольтметр параллельно ей ничего не меняет. Напряжение на амперметре найдите как разность напряжения батарейки и показаний вольтметра на резисторе.

Ответ

A) 5 В;  B) 10 Ом;  C) 546 Ом;  D) 4,8 кОм.

Подсказка

Предсказание Станислава верно для идеальных приборов. Учтите внутреннее сопротивление батарейки \(r\) и конечное сопротивление вольтметра \(R_V\), а затем используйте отношение показаний \(4:7:12\).

Ответ

ЭДС батарейки составляет 28 В; внутреннее сопротивление батарейки, сопротивление резистора и сопротивление вольтметра равны.

Решение

Пусть \(\mathcal E\) — ЭДС батарейки.

Станислав мог считать батарейку и вольтметр идеальными. Поскольку сопротивления резисторов и силы тока через них одинаковые, напряжения на резисторах также равны между собой. Поскольку их сумма равна \(\mathcal E\), каждое из напряжений равно \(\mathcal E/3\). Следовательно, \(U_{AB} = \mathcal E/3\), \(U_{AC} = 2\mathcal E/3\), \(U_{AD} = \mathcal E\). При \(U_{AB} = 4\) В получим \(U_{AC} = 8\) В, \(U_{AD} = 12\) В.

Однако батарейка и вольтметр вполне могут и не быть идеальными. Пусть \(R\) — сопротивление каждого из резисторов, \(r\) — внутреннее сопротивление батарейки, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Найдём показания вольтметра при подключении к разным клеммам схемы.

Пусть вольтметр подключён к клеммам A и B. Изобразим схему электрической цепи, заменив неидеальную батарейку на последовательно соединённые идеальную батарейку и сопротивление:

Сила тока через вольтметр равна \(U_{AB}/R_V\); сила тока через резистор, параллельный вольтметру, равна \(U_{AB}/R\); следовательно, сила тока через батарейку равна \[I = \frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R}.\] Напряжение между точками B и E составляет, с одной стороны, \(I(2R + r)\), а с другой стороны, \(\mathcal E - U_{AB}\). Отсюда \(I = \dfrac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}\). Из двух соотношений для \(I\) получим \[\frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R} = \frac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}.\] Отсюда \[\frac{\mathcal E}{U_{AB}} = (2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1.\] Аналогично получим \[\frac{\mathcal E}{U_{AC}} = (R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1; \qquad \frac{\mathcal E}{U_{AD}} = r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 1.\] Для анализа этой системы удобно учесть пропорцию \(U_{AB} : U_{AC} : U_{AD} = 4 : 7 : 12\). В частности, из свойства \(\mathcal E/U_{AB} = 3\mathcal E/U_{AD}\) получим \[(2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1 = 3r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 3,\] или \(R = r\). Также учтём свойство \(4\mathcal E/U_{AB} = 7\mathcal E/U_{AC}\): \[4\cdot\left((2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left((R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Поскольку \(R = r\), преобразуем свойство как \[4\cdot\left(3R\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left(2R\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Из него получим \(R_V = R\).

Таким образом, данные задачи позволяют сделать вывод, что сопротивления батарейки, резисторов и вольтметра одинаковые (батарейка и вольтметр, таким образом, очень далеки от идеальности). В этом случае \(U_{AB} = \mathcal E/7\), \(U_{AC} = \mathcal E/4\), \(U_{AD} = 3\mathcal E/7\). Из данных задачи получаем \(\mathcal E = 28\) В.

Подсказка

По показанию вольтметра найдите напряжение источника, по показанию амперметра "— \(R\), а затем для схемы с резистором между \(A\) и \(B\) запишите правило Кирхгофа для потенциалов узлов \(A\) и \(B\).

Ответ

\(I_R = \dfrac{1}{7}\,\dfrac{\varepsilon}{R} \approx 17\) мА (при этом \(\varepsilon = 12\) В, \(R = 100\) Ом).

Решение

При подключении идеального вольтметра (можно считать, что ток через него не течёт) токи через сопротивления \(2R\) и \(R\) (справа) одинаковы и равны \(I_0 = \dfrac{\varepsilon}{3R}\), где \(\varepsilon\) "— напряжение идеального источника. Тогда: \[U = 2R\cdot I_0 - R\cdot I_0 = \frac{\varepsilon}{3} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon = 3U = 12\text{ В}.\] При подключении идеального амперметра (можно считать, что напряжение на нём равно нулю) токи через сопротивления \(R\) и \(2R\) равны соответственно: \[I_1 = \frac{\varepsilon}{2\cdot\frac{2}{3}R}\cdot\frac{2R}{R+2R} = \frac{\varepsilon}{2R} \quad\text{и}\quad I_2 = \frac{\varepsilon}{2\cdot\frac{2}{3}R}\cdot\frac{R}{R+2R} = \frac{\varepsilon}{4R}.\] Тогда из закона сохранения заряда следует: \[I = I_1 - I_2 = \frac{\varepsilon}{2R} - \frac{\varepsilon}{4R} = \frac{\varepsilon}{4R} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{3U}{4I} = 100\text{ Ом}.\] Пусть потенциал левого узла равен нулю, тогда потенциал правого узла равен \(\varepsilon = 12\) В. Потенциал точки \(A\) обозначим \(\varphi_A\), а потенциал точки \(B\) "— \(\varphi_B\). Тогда из первого правила Кирхгофа следует: \[\frac{\varphi_A}{R} + \frac{\varphi_A - \varphi_B}{R} + \frac{\varphi_A - \varepsilon}{2R} = 0, \qquad \frac{\varphi_B}{2R} + \frac{\varphi_B - \varphi_A}{R} + \frac{\varphi_B - \varepsilon}{R} = 0.\] Откуда получаем: \(\varphi_A = \dfrac{9}{21}\varepsilon\), \(\varphi_B = \dfrac{12}{21}\varepsilon\). Окончательный ответ: \[I_R = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{R} = \frac{1}{7}\cdot\frac{\varepsilon}{R} \approx 17\text{ мА}.\]

Подсказка

Через идеальный вольтметр ток не течёт, поэтому в каждой из двух параллельных ветвей резисторы соединены последовательно. Найдите токи в ветвях и разность потенциалов между точками подключения вольтметра.

Ответ

\(U_{V1} = 35\) В;  \(U_{V2} = 32\) В.

Решение

Ток, текущий через идеальный вольтметр, пренебрежимо мал, поэтому можно считать, что ток \(I\) в верхней ветви в два раза меньше, чем в нижней, и равен \(I = \dfrac{1}{8R}\mathcal{E}\). Разность потенциалов между точками подсоединения вольтметра \(4IR\), следовательно, показание вольтметра \(U_{V1} = \mathcal{E}/2 = 35\) В.

Если поменять местами источник и вольтметр, то сопротивления параллельных ветвей будут относиться как 5 к 7, и если по правой ветви идёт ток \(5I\), то по левой пойдёт \(7I\), причём \(\mathcal{E} = 35IR\), а разность потенциалов точек подсоединения вольтметра \(16IR\), откуда \(U_{V2} = \dfrac{16}{35}\mathcal{E} = 32\) В.

Подсказка

Все приборы соединены последовательно, ток через них один и тот же. Показание вольтметра есть напряжение на нём; остаток напряжения батарейки приходится на резистор.

Ответ

1) 1 МОм;  2) 2 МОм;  3) 200 кОм.

Подсказка

Лампочки в гирлянде соединены последовательно, ток общий. Найдите сопротивление исправных лампочек и напряжение, которое придётся на заменяющую; сравните ток с допустимым для каждого варианта.

Ответ

Б и В.

Подсказка

Найдите плотность тока в тонком участке (2) из закона Ома в локальной форме, затем используйте то, что сила тока одинакова во всех сечениях.

Ответ

\(v \approx 0{,}0052\) мм/с (принимается \(0{,}0052\)–\(0{,}0053\)).

Подсказка

Перерисуйте схему так, чтобы были видны параллельные и последовательные соединения. Амперметр, включённый параллельно вольтметру, находится под тем же напряжением. Перебирайте варианты расстановки и ищите противоречие с тем, во сколько раз отличаются показания.

Ответ

1) Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры;  2) \(R_\text{А} = 10\) кОм, \(R_V = 50\) кОм.

Решение

Перерисуем электрическую схему.

Приборы 3 и 4 соединены параллельно, а по условию нет двух вольтметров или амперметров с одинаковыми показаниями. Поэтому один из приборов 3 и 4 должен быть вольтметром, а второй — амперметром. Давайте для определённости будем считать 3 амперметром, а 4 — вольтметром.

Предположим, что прибор номер 1 — амперметр. Через прибор 1 протекает ток, равный сумме токов через приборы 3 и 4. Тогда из двух амперметров 1 и 3 больший ток протекает через амперметр 1. Значит, через амперметр 1 протекает ток \(I_1 = 520\) мкА, а через амперметр 3 протекает ток \(I_3 = 200\) мкА. Соответственно через вольтметр 4 протекает ток \(I_1 - I_3 = 320\) мкА. Найдём внутреннее сопротивление амперметра. Амперметр 3 включён в схему параллельно вольтметру 4, значит, напряжение на амперметре 3 равно напряжению на вольтметре 4. Тогда внутреннее сопротивление амперметров \(R_A = \dfrac{U_4}{I_3}\). Напряжение на амперметре 1 равно \(U_1 = I_1 R_A = \dfrac{U_4 I_1}{I_3}\). Известно, что в схеме всего 2 амперметра. Если приборы 1 и 3 — амперметры, тогда прибор 2 должен быть вольтметром. Он показывает сумму напряжений на амперметрах 1 и 3, равную \(U_1 + U_4 = \dfrac{U_4(I_1 + I_3)}{I_3} = 3{,}6U_4\). Но по условию задачи в схеме нет двух вольтметров, показания которых различаются в 3,6 раза. Тогда мы приходим к противоречию с предположением, что прибор 1 — амперметр. Следовательно, прибор 1 — вольтметр.

Через вольтметр 1 течёт ток, равный сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. Поэтому напряжение на вольтметре 1 больше, чем на вольтметре 4. Если 2 — вольтметр, то напряжение на нём равно сумме напряжений на 1 и 4. Если 5 — вольтметр, то ток через него равен сумме токов через 1 и 2, значит, напряжение на 5 больше, чем напряжение на 1 и 4. В любом случае получаем, что самое маленькое напряжение из всех вольтметров (равное 2 В) показывает вольтметр 4, а вольтметр 1 показывает среднее значение \(U_1 = 12\) В. Напряжение на приборе 2 равно сумме напряжений на вольтметрах 1 и 4. Тогда \(U_2 = U_1 + U_4 = 14\) В. Если предположить, что прибор 2 — амперметр, то сила тока через него должна быть равна \(\dfrac{U_2}{R_A} = \dfrac{U_2 I_3}{U_4} = 7I_3\). Но это не соответствует условиям задачи: по условию показания двух амперметров отличаются в \(\dfrac{520}{200} = 2{,}6\) раза. Следовательно, прибор 2 — вольтметр и его показания \(U_2 = 14\) В, а прибор 5 — амперметр. Мы узнали, на каких местах в схеме стоят амперметры и вольтметры.

Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры.

Теперь найдём внутренние сопротивления приборов. Сила тока через амперметр 5 равна сумме токов через амперметр 3, вольтметр 4 и вольтметр 2. Следовательно, сила тока в амперметре 3 меньше, чем в амперметре 5: \(I_3 = 200\) мкА, \(I_5 = 520\) мкА. Тогда сопротивление амперметров \[R_\text{А} = \frac{U_4}{I_3} = 10\text{ кОм}.\] Сила тока через вольтметр 1 равна сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4: \[I_1 = \frac{U_1}{R_V} = I_3 + \frac{U_4}{R_V}.\] Преобразуем это выражение: \(\dfrac{U_1 - U_4}{R_V} = I_3\), и выразим из него сопротивление вольтметров \[R_V = \frac{U_1 - U_4}{I_3} = 50\text{ кОм}.\]

Подсказка

При повороте на \(90^\circ\) амперметр и вольтметр меняются местами в цепи. Запишите показания ваттметра для обоих включений и возьмите их отношение — напряжение источника сократится; из двух вариантов соответствия оставьте тот, где \(R_V > r_A\).

Ответ

1) \(R_V = 50\text{ кОм}\);  2) можно: например, по схеме из решения (вольтметр последовательно с источником, амперметр параллельно резистору) \(P_3 = P_2(R + r_A)/R_V \approx 10\text{ мВт}\).

Решение

Необходимо проанализировать два возможных варианта подключения и рассчитать показания ваттметра для каждого из них. Обозначим напряжение на выводах идеального источника постоянного напряжения за \(U\).

В случае левой схемы показания амперметра (\(I_1\)) и вольтметра (\(U_1\)): \[\begin{cases} I_1 = \dfrac{U}{R + r_A};\\ U_1 = U. \end{cases}\] По условию показания ваттметра равны произведению показаний амперметра и вольтметра: \[P_1' = I_1U_1 = \frac{U^2}{R + r_A}.\] В случае правой схемы показания амперметра (\(I_2\)) и вольтметра (\(U_2\)): \[\begin{cases} I_2 = \dfrac{U}{r_A};\\ I_V = \dfrac{U}{R + R_V};\\ U_2 = I_VR_V = \dfrac{UR_V}{R + R_V}. \end{cases}\] Тогда показания ваттметра в рассмотренном случае: \[P_2' = I_2U_2 = \frac{U^2}{R + R_V}\cdot\frac{R_V}{r_A}.\] Отношение показаний ваттметра позволяет исключить напряжение источника. \[k = \frac{P_1'}{P_2'} = \frac{R + R_V}{R + r_A}\cdot\frac{r_A}{R_V}.\] Отметим, что индексы 1 и 2 для мощностей в формуле выше не обязаны соответствовать индексам в условии задачи, поскольку нам неизвестно, какая схема была собрана первой. Выразим искомое внутреннее сопротивление вольтметра: \[R_V = \frac{R}{k\dfrac{R + r_A}{r_A} - 1}.\] Подставляем числовые значения, учитывая два возможных варианта соответствия между индексами в условии и нашем решении:

1. \(k = 100/1 = 100 \Rightarrow R_V \approx 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ Ом}\). Величина получилась меньше сопротивления амперметра, значит этот ответ неверный.

2. \(k = 1/100 = 0{,}01 \Rightarrow R_V = 50\text{ кОм}\).

Таким образом искомое внутреннее сопротивление вольтметра: \[R_V = 50\text{ кОм}.\]

Рассмотрим схему, изображённую на рисунке.

Сила полного тока в цепи: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}}.\] С учётом неравенства \(R_V \gg R \gg r_A\) получим: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}} \approx \frac{U}{R_V}.\] Силу тока, протекающего через амперметр, с учётом неравенства, можно выразить следующим образом: \[I_A = I\cdot\frac{R}{R + r_A} \approx I = \frac{U}{R_V}.\] Показания вольтметра равны \(U_V = IR_V\), а показания ваттметра: \[P_3 = I_AU_V = I^2R_V = \frac{U^2}{R_V}; \quad U^2 = P_2(R + r_A) \Rightarrow P_3 = \frac{P_2(R + r_A)}{R_V} \approx 10\text{ мВт}.\]

Подсказка

Резистор \(R\) и измеряемое сопротивление \(R_x\) можно включить последовательно или параллельно друг другу; амперметр ставят так, чтобы через него шёл ток нужной ветви. Учтите предел шкалы 20 мА.

Ответ

Возможны три принципиально разные схемы сборки омметра (см. рисунки):

Схема 1: \(R_x = U/I - R\), диапазон измерений от 0 до \(\infty\) Ом. Схема 2: \(R_x = \dfrac{UR}{IR - U}\), диапазон измерений от 150 Ом до \(\infty\) Ом. Схема 3: \(R_x = U/I\), диапазон измерений от 75 Ом до \(\infty\) Ом.

Подсказка

Сопротивления слоёв жидкости идут последовательно; найдите их интегрированием по тонким сферическим слоям. Заряд средней сферы определяется скачком нормальной составляющей поля на ней.

Ответ

\(q_2 = 0\),  \(I = \dfrac{12\pi R U}{17\rho}\).

Подсказка

Ток идёт по проволокам от их нижних концов до поршней, так что сопротивление цепи определяется суммой высот поршней. При смещении большого поршня на \(\Delta h\) малый смещается на \(3\Delta h\) в другую сторону. Запишите закон Ома для трёх положений поршней.

Ответ

1) \(R_A = 1\) Ом;  2) \(I_0 = \dfrac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\) А;  3) от \(I_\text{min} \approx 1{,}67\) А до \(I_\text{max} \approx 3{,}22\) А.

Решение

Перемещаясь, поршни задействуют разную длину проволок, соответственно, обеспечивают изменение сопротивления цепи. Это связано еще и с тем, что площади сосудов отличаются, иначе бы эффект не наблюдался. Дело в том, что при смещении большого поршня на \(\Delta h\) вниз, малый сместится на \(3\Delta h\) вверх, и наоборот, когда большой поршень смещается на \(\Delta h\) вверх, малый сместится на \(3\Delta h\) вниз.

Для удобства дальнейшей записи введем обозначение \(\alpha\) для сопротивления одного метра проволоки. Тогда можно записать законы Ома для указанных в условии задачи положений поршней. Когда на поршнях нет грузов: \[U = I_0(2\alpha h_0 + R_A),\] когда груз на малом поршне: \[U = I_1\left(2\alpha h_0 + R_A - \frac{\alpha m}{2\rho S}\right),\] когда груз на большом поршне: \[U = I_2\left(2\alpha h_0 + R_A + \frac{\alpha m}{2\rho S}\right).\] Взяв разность двух последних уравнений, получаем

\[U(I_2 - I_1) = I_1I_2\frac{\alpha m}{\rho S}.\] Откуда \[\alpha = \frac{U(I_2 - I_1)\rho S}{I_1I_2m} = 20\text{ Ом/м}.\] И, воспользовавшись первым законом Ома, получим ответ

\[R_A = \frac{U}{I_0 - 2\alpha H_0} = 1\text{ Ом}.\] Из законов Ома для положений системы с грузами можно получить \[U(I_1 + I_2) = 2I_1I_2(2\alpha h_0 + R_A).\] Учитывая закон Ома, когда нет поршней, получим

\[I_0 = \frac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\text{ А}.\] Максимальный ток в цепи будет при минимальном сопротивлении, то есть, когда задействована минимальная длина проволок. Это произойдет в нижнем положении малого поршня: \[I_\text{max} = \frac{U}{\frac43\alpha h_0 + R_A} \approx 3{,}22\text{ А}.\] Минимальный ток напротив будет при максимальном сопротивлении, то есть, когда задействована наибольшая длина проволок. Это произойдет в верхнем положении малого поршня: \[I_\text{min} = \frac{U}{\frac83\alpha h_0 + R_A} \approx 1{,}67\text{ А}.\]

Подсказка

Выходное напряжение равно \(U_{\text{кэ}} = U_0 - I_{\text{к}}R\), поэтому ток коллектора выражается через ток базы и \(R\). Для малой амплитуды \(U_1\) связь \(I_{\text{б}}(U_{\text{бэ}})\) можно линеаризовать, взяв производную в рабочей точке.

Ответ

1) \(I_{\text{к}0} \approx 503{,}6\text{ мкА}\) при \(R = 1\text{ кОм}\) и \(I_{\text{к}0} \approx 483{,}5\text{ мкА}\) при \(R = 10\text{ кОм}\);  2) \(K_I \approx 213{,}1\);  3) \(K_U\) от \(\approx 19{,}3\) (при \(R = 1\text{ кОм}\)) до \(\approx 185{,}5\) (при \(R = 10\text{ кОм}\)).