Снежок и санки

Выберите оси вдоль горки и перпендикулярно ей: тогда и снежок, и санки движутся с постоянными ускорениями. Приравняйте обе координаты снежка и санок в момент встречи.

Введём систему координат следующим образом: направим ось \(OX\) вниз вдоль горки, ось \(OY\) — перпендикулярно горке вверх. При данном выборе координатных осей проекции на них ускорения свободного падения равны \[g_x = g\sin\alpha,\quad g_y = -g\cos\alpha.\] Санки движутся с ускорением \(a\), определяемым из второго закона Ньютона: \[ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha,\] где \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\) — коэффициент трения.

Обозначим через \(v_{0x} = v_0\cos(\alpha + \beta)\) и \(v_{0y} = v_0\sin(\alpha + \beta)\) проекции начальной скорости снежка на координатные оси. Законы движения снежка (1) и санок (2) имеют вид \[x_1 = v_{0x}t + \dfrac{g\sin\alpha\cdot t^2}{2},\quad y_1 = v_{0y}t - \dfrac{g\cos\alpha\cdot t^2}{2},\qquad (1)\] \[x_2 = \dfrac{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)t^2}{2},\quad y_2 = 0.\qquad (2)\] Снежок попадёт в мальчика, если в некоторый момент времени \(x_1 = x_2\) и \(y_1 = y_2\). Отсюда получаем соотношения: \[0 = v_{0x}t + \dfrac{\mu g\cos\alpha\cdot t^2}{2}\quad\text{и}\quad 0 = v_{0y}t - \dfrac{g\cos\alpha\cdot t^2}{2}.\] Следовательно, \(v_{0x}/v_{0y} = -\mu\), и \(\mu = -\operatorname{ctg}(\alpha + \beta) \approx 0{,}17\).

Для приведённых в условии числовых данных соотношение \(\mu < \operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}58\) действительно выполнено.