Масло и вода

Сначала найдите, как соотносятся высоты масла и воды в левом колене до опускания поршня. Потом учтите, что объём жидкости сохраняется, и запишите равенство давлений на уровне границы масло—вода.

Пусть высота столба масла в левом колене до того, как положили поршень, равна \(H\), а разность высот в левой и правой частях сосуда — \(h\). Запишем равенство давлений в левом и правом колене на уровне раздела масло—вода: \[\rho_м gH=\rho_в g(H-h),\] отсюда уровни масла и воды соотносятся как плотности: \[\frac{H-h}{H}=\frac{\rho_м}{\rho_в}=\frac45,\qquad h=\frac15 H .\]

Поршень создаёт дополнительное давление на воду, поэтому масло начнёт переливаться через перегородку и в итоге окажется справа над поршнем. Поршень кладут медленно, значит, можно считать, что в течение всего времени масло в левом колене доходит до края. Суммарный объём жидкости в системе не изменился, поэтому разность высот между левым и правым коленами по-прежнему равна \(h\). Так как поршень находится посередине уровня масла, высота масла в правом колене равна \(\dfrac{l}{2}-h\). Так как левая и правая части сосуда имеют одинаковую площадь, из сохранения объёма масла: \[l+\Bigl(\frac{l}{2}-h\Bigr)=H .\] Подставив \(h=\frac15H\), получим \(\frac32 l=\frac65 H\), откуда \(l=\frac45 H\).

Пусть масса поршня равна \(M\), а площадь сечения левой (а значит, и правой) части сосуда равна \(S\). Тогда равенство давлений на уровне \(A\) записывается как: \[\rho_м gl=\rho_в g\frac{l}{2}+\rho_м g\Bigl(\frac{l}{2}-h\Bigr)+\frac{Mg}{S}.\] Выразив \(l\) и \(h\) через \(H\), получим \[\frac{M}{S}=\rho_м\Bigl(\frac45H-\frac25H+\frac15H\Bigr)-\rho_в\cdot\frac25H =\frac{3\rho_м-2\rho_в}{5}\,H,\] откуда \[M=\frac{3\rho_м-2\rho_в}{5}\,HS .\] Величина \(HS\) — объём всего масла в системе, \(1\) л. Подставив численные значения, \[M=\frac{3\cdot 0{,}8\ \text{г/см}^3-2\cdot 1\ \text{г/см}^3}{5}\cdot 1\ \text{л}=80\ \text{г}.\] Ответ: масса поршня должна быть равна \(80\) г. Масло переливается — да.